Opción A · Ejercicio 3. Sean A y B dos matrices que verifican: A+B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 2\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad A-B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2\end{pmatrix} a) [1 punto] Halla las matrices \;(A+B)(A-B)\; y \;A^{2}-B^{2}. b) [1,5 puntos] Resuelve la ecuación matricial \;XA-XB-(A+B)^{t} = 2I, siendo I la matriz identidad de orden 2 y (A+B)^{t} la matriz traspuesta de A+B.

Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2011 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Sean

A

B

dos matrices que verifican:

A+B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 2\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad A-B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2\end{pmatrix}

a) [1 punto] Halla las matrices

\;(A+B)(A-B)\;

\;A^{2}-B^{2}

.

b) [1,5 puntos] Resuelve la ecuación matricial

\;XA-XB-(A+B)^{t} = 2I

, siendo

I

la matriz identidad de orden

2

(A+B)^{t}

la matriz traspuesta de

A+B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;(A+B)(A-B) = \begin{pmatrix} 6 & 20 \\ 4 & 16\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;A^{2}-B^{2} = \begin{pmatrix} 13 & 16 \\ 3 & 9\end{pmatrix} \neq (A+B)(A-B)\;}

\boxed{\;\text{b) } X(A-B) = 2I+(A+B)^{t} = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 4\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 4\end{pmatrix}(A-B)^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{15}{8} & -\tfrac94 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) es una trampa clásica: como el producto de matrices no es conmutativo,

(A+B)(A-B) = A^{2}-AB+BA-B^{2} \neq A^{2}-B^{2}

salvo que

AB = BA

. Para calcular

A^{2}-B^{2}

hacen falta

A

B

por separado: se obtienen sumando y restando los dos datos.

En b) hay que sacar factor común $X$ por la izquierda:

XA-XB = X\,(A-B)

y ahí es donde el dato

A-B

resulta directamente útil.

Desarrollo

a) El primer producto.

(A+B)(A-B) = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8-2 & 16+4 \\ 6-2 & 12+4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 20 \\ 4 & 16\end{pmatrix}

Despejamos $A$ y $B$ . Sumando y restando los dos datos:

A = \frac{(A+B)+(A-B)}{2} = \frac12\begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 2 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 1 & 2\end{pmatrix}

B = \frac{(A+B)-(A-B)}{2} = \frac12\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0\end{pmatrix}

Los cuadrados.

A^{2} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 1 & 2\end{pmatrix}^{2} = \begin{pmatrix} 9+3 & 9+6 \\ 3+2 & 3+4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 15 \\ 5 & 7\end{pmatrix}

B^{2} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0\end{pmatrix}^{2} = \begin{pmatrix} 1-2 & -1+0 \\ 2+0 & -2+0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -2\end{pmatrix}

A^{2}-B^{2} = \begin{pmatrix} 13 & 16 \\ 3 & 9\end{pmatrix}

\textbf{Son distintas: } (A+B)(A-B) \neq A^{2}-B^{2}

(La razón: $AB = \begin{pmatrix} 9 & -3 \\ 5 & -1\end{pmatrix}$ y $BA = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 6\end{pmatrix}$ no coinciden.)

b) La ecuación matricial. Sacando factor común

X

por la izquierda:

X\,(A-B) = 2I+(A+B)^{t}

(A+B)^{t} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 2\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; 2I+(A+B)^{t} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 4\end{pmatrix}

La inversa de $A-B$ .

\det(A-B) = 2\cdot2-4\cdot(-1) = 4+4 = 8 \neq 0

(A-B)^{-1} = \frac18\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 2\end{pmatrix}

Despejando (

A-B

está a la derecha de

X

, así que su inversa entra por la derecha):

X = \bigl[2I+(A+B)^{t}\bigr](A-B)^{-1} = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 4\end{pmatrix}\cdot\frac18\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 2\end{pmatrix}

= \frac18\begin{pmatrix} 12+3 & -24+6 \\ 4+4 & -8+8\end{pmatrix} = \frac18\begin{pmatrix} 15 & -18 \\ 8 & 0\end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} \tfrac{15}{8} & -\tfrac94 \\[1mm] 1 & 0\end{pmatrix}

Comprobación.

\;X(A-B)-(A+B)^{t} = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} = 2I \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$(A+B)(A-B) \neq A^{2}-B^{2}$ en general. La identidad del binomio necesita $AB = BA$ , y el apartado a) está diseñado precisamente para que lo compruebes con números.

Para separar $A$ y $B$ de sus suma y diferencia: $A = \frac{S+D}{2}$ , $B = \frac{S-D}{2}$ . Es el mismo truco que con números.

En b), $X$ multiplica por la izquierda, así que la inversa de $A-B$ entra por la derecha: $X = M\,(A-B)^{-1}$ . Si la pones por el otro lado, el resultado es otra matriz.