Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2019 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & m & 1 \\ m-1 & m & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & \phantom{-}0 \\ 0 & \phantom{-}1\end{pmatrix}

a) [1 punto] Calcula los valores de

m

para los cuales

A

tiene inversa.

b) [1,5 puntos] Para

m = 2

, encuentra la matriz

X

que cumple

A\,X - B\,B^{t} = I

, siendo

B^{t}

la matriz traspuesta de

B

I

la matriz identidad de orden

3

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = -(m-1)^{2} \;\Longrightarrow\; A \text{ invertible} \Longleftrightarrow m \neq 1\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A\,X = B\,B^{t} + I = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & 5 & 0 \\ -1 & 0 & 2\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}\bigl(BB^{t}+I\bigr)\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} -6 & 1 & 6 \\ 4 & 2 & -3 \\ 1 & -3 & -1\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), "

A

tiene inversa" es simplemente

|A| \neq 0

: se calcula el determinante en función de

m

y se descartan sus raíces.

En b) hay que fijarse en las dimensiones:

B

3\times 2

B^{t}

2\times 3

, así que

B\,B^{t}

3\times 3

(cuadrada, del mismo tamaño que

A

I

) y la ecuación tiene sentido. Despejando,

A\,X = B\,B^{t} + I \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}\bigl(B\,B^{t} + I\bigr)

Es una multiplicación por la izquierda: el orden importa.

Desarrollo

a) Determinante. Desarrollando por la tercera columna (con un cero):

|A| = 1\cdot\left|\begin{array}{cc} m-1 & m \\ 1 & 1\end{array}\right| + 1\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & m \\ m-1 & m\end{array}\right|

= \bigl[(m-1) - m\bigr] + \bigl[m - m(m-1)\bigr] = -1 + 2m - m^{2} = -(m-1)^{2}

|A| \neq 0 \;\Longleftrightarrow\; m \neq 1

A \text{ tiene inversa para todo } m \neq 1

b) Caso $m = 2$ .

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad |A| = -(2-1)^{2} = -1 \neq 0

El producto $B\,B^{t}$ (

3\times 2

por

2\times 3

, resulta

3\times 3

B\,B^{t} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & \phantom{-}0 \\ -1 & 0 & \phantom{-}1\end{pmatrix}

Término independiente.

M = B\,B^{t} + I = \begin{pmatrix} \phantom{-}3 & 2 & -1 \\ \phantom{-}2 & 5 & \phantom{-}0 \\ -1 & 0 & \phantom{-}2\end{pmatrix}

Inversa de $A$ . Con

|A| = -1

, los adjuntos son

A_{11} = 2, \quad A_{12} = -1, \quad A_{13} = -1

A_{21} = -1, \quad A_{22} = 0, \quad A_{23} = 1

A_{31} = -2, \quad A_{32} = 1, \quad A_{33} = 0

A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} \phantom{-}2 & -1 & -2 \\ -1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 \\ -1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & \phantom{-}1 & \phantom{-}2 \\ \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & -1 \\ \phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}0\end{pmatrix}

(Comprobación: $A\,A^{-1} = I$ .)

Cálculo de $X$ .

X = A^{-1}M = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & 5 & 0 \\ -1 & 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & \phantom{-}1 & \phantom{-}6 \\ \phantom{-}4 & \phantom{-}2 & -3 \\ \phantom{-}1 & -3 & -1\end{pmatrix}

Comprobación.

A\,X - B\,B^{t} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & 5 & 0 \\ -1 & 0 & 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix} = I \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Mira las dimensiones antes de multiplicar. $B\,B^{t}$ es $3\times 3$ (y simétrica), pero $B^{t}B$ sería $2\times 2$ : la ecuación solo tiene sentido con el primer orden. Confundirlos hace imposible sumar la identidad de orden 3.

Al despejar, $A^{-1}$ entra por la izquierda, porque $A$ multiplica a $X$ por la izquierda. Escribir $X = (BB^{t}+I)A^{-1}$ da otra matriz distinta: el producto de matrices no conmuta.

Y en a), fíjate en que la raíz es doble ( $|A| = -(m-1)^{2}$ ): eso no cambia la respuesta —hay inversa si $m\neq 1$ — pero conviene escribir el determinante factorizado para no equivocarse con los signos.