Sistemas de ecuaciones

a) Determinante.$$|A| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & m & m \\ 1 & 2m & m+1 \\ 2 & m & m \end{array}\right|$$Restamos el doble de la primera fila a la tercera ($F_{3} \to F_{3} - 2F_{1}$), lo que no altera el determinante:$$|A| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & m & m \\ 1 & 2m & m+1 \\ 0 & -m & -m \end{array}\right|$$Desarrollando por la tercera fila:$$= -(-m)\left|\begin{array}{cc} 1 & m \\ 1 & m+1 \end{array}\right| + (-m)\left|\begin{array}{cc} 1 & m \\ 1 & 2m \end{array}\right|$$$$= m\,\bigl[(m+1) - m\bigr] - m\,\bigl[2m - m\bigr] = m\cdot 1 - m\cdot m = m - m^{2}$$$$|A| = m\,(1 - m)$$$$|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 0 \quad \text{o} \quad m = 1$$Caso 1: $m \neq 0$ y $m \neq 1$. $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 3$: sistema compatible determinado.

Caso 2: $m = 0$. El sistema queda$$\begin{cases} \phantom{2}x \phantom{{}+{}0y+0z} = 1 \\ \phantom{2}x \phantom{{}+{}0y} + z = 1 \\ 2x \phantom{{}+{}0y+0z} = 2 \end{cases}$$La tercera ecuación es exactamente el doble de la primera: no aporta nada. El menor formado por las filas primera y segunda y las columnas primera y tercera,$$\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right| = 1 \neq 0$$da $\operatorname{rg}(A) = 2$, y como la tercera fila de la ampliada también es el doble de la primera, $\operatorname{rg}(A^{*}) = 2$. Sistema compatible indeterminado (un parámetro): $x = 1$, $z = 0$ e $y$ libre.

Caso 3: $m = 1$. El sistema queda$$\begin{cases} \phantom{2}x + \phantom{2}y + \phantom{2}z = 1 \\ \phantom{2}x + 2y + 2z = 1 \\ 2x + \phantom{2}y + \phantom{2}z = 2 \end{cases}$$El menor $\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right| = 1 \neq 0$ da $\operatorname{rg}(A) = 2$. Para la ampliada, orlamos ese menor con la fila tercera y la columna de términos independientes:$$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right| = 1\,(4 - 1) - 1\,(2 - 2) + 1\,(1 - 4) = 3 - 0 - 3 = 0$$Luego $\operatorname{rg}(A^{*}) = 2$: sistema compatible indeterminado (un parámetro).

b) Resolución para $m = 1$. Restando la primera ecuación de la tercera:$$(2x + y + z) - (x + y + z) = 2 - 1 \;\Longrightarrow\; x = 1$$Sustituyendo en la primera: $\;1 + y + z = 1 \Longrightarrow y + z = 0 \Longrightarrow z = -y$.

(La segunda se cumple sola: $\;1 + 2y + 2(-y) = 1\;\checkmark$)$$\text{Solución: } \quad (x, y, z) = (1,\, t,\, -t), \qquad t \in \mathbb{R}$$