Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2008 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Sabemos que el sistema de ecuaciones

\left.\begin{array}{rcl} 2x-y+3z & = & 1 \\ x+2y-z & = & 2\end{array}\right\}

tiene las mismas soluciones que el que resulta al añadirle la ecuación

\;a x+y+7z = 7

.

a) [1,25 puntos] Determina el valor de

a

.

b) [1,25 puntos] Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones de manera que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a la unidad.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Redundante} \iff (a,1,7\mid7) = \alpha(2,-1,3\mid1)+\beta(1,2,-1\mid2)\;}

\boxed{\;-\alpha+2\beta = 1, \ \alpha+2\beta = 7 \;\Longrightarrow\; \alpha = 3, \ \beta = 2 \ \ (3\alpha-\beta = 7 \ \checkmark)\;}

\boxed{\;a = 2\alpha+\beta = 8\;}

\boxed{\;\text{b) } (x,y,z) = \left(\tfrac65,\; \tfrac15,\; -\tfrac25\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Que la nueva ecuación no cambie las soluciones significa que es redundante: tiene que ser combinación lineal de las dos primeras.

(a,\,1,\,7\mid7) = \alpha\,(2,-1,3\mid1)+\beta\,(1,2,-1\mid2)

Las componentes conocidas (

1

7

y el término independiente

7

) determinan

\alpha

\beta

; después sale

a

b) Se añade la condición $x+y+z = 1$ a las dos ecuaciones y queda un sistema $3\times3$ determinado.

Desarrollo

a) La combinación lineal.

\alpha\,(2,\,-1,\,3\mid1)+\beta\,(1,\,2,\,-1\mid2) = \bigl(2\alpha+\beta,\; -\alpha+2\beta,\; 3\alpha-\beta \mid \alpha+2\beta\bigr)

Igualando con

(a,\,1,\,7\mid7)

\begin{cases} -\alpha+2\beta = 1 & \text{(coef. de } y) \\ 3\alpha-\beta = 7 & \text{(coef. de } z) \\ \alpha+2\beta = 7 & \text{(t. independiente)}\end{cases}

Restando la primera de la tercera:

2\alpha = 6 \;\Longrightarrow\; \alpha = 3 \;\Longrightarrow\; 2\beta = 1+3 = 4 \;\Longrightarrow\; \beta = 2

Comprobación en la segunda:

\;3\cdot3-2 = 7

\;\checkmark

Y el coeficiente de $x$ :

a = 2\alpha+\beta = 6+2 = 8

a = 8

(Es decir, la ecuación $8x+y+7z = 7$ es exactamente $3\cdot(\text{primera})+2\cdot(\text{segunda})$ .)

b) La solución con $x+y+z = 1$ .

\begin{cases} 2x-y+3z = 1 \\ x+2y-z = 2 \\ x+y+z = 1\end{cases}

De la tercera:

\;z = 1-x-y

. Sustituyendo:

En la primera:

2x-y+3\,(1-x-y) = 2x-y+3-3x-3y = -x-4y+3 = 1 \;\Longrightarrow\; x+4y = 2

En la segunda:

x+2y-(1-x-y) = x+2y-1+x+y = 2x+3y-1 = 2 \;\Longrightarrow\; 2x+3y = 3

Resolviendo. De

x = 2-4y

2\,(2-4y)+3y = 4-8y+3y = 4-5y = 3 \;\Longrightarrow\; y = \frac15

x = 2-\frac45 = \frac65 \qquad z = 1-\frac65-\frac15 = -\frac25

(x,\,y,\,z) = \left(\frac65,\; \frac15,\; -\frac25\right)

Comprobaciones.

2\cdot\tfrac65-\tfrac15+3\left(-\tfrac25\right) = \tfrac{12-1-6}{5} = 1 \;\checkmark

\tfrac65+\tfrac25+\tfrac25 = \tfrac{10}{5} = 2 \;\checkmark \qquad \tfrac65+\tfrac15-\tfrac25 = \tfrac55 = 1 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Tiene las mismas soluciones al añadir una ecuación" significa que la nueva es combinación lineal de las anteriores: no aporta información y el rango no sube.

Plantea la combinación con la fila ampliada completa (coeficientes y término independiente). Si solo igualas los coeficientes, puedes obtener un $a$ que no sirva.

En b), la condición "la suma de las incógnitas vale $1$ " es simplemente una tercera ecuación: $x+y+z = 1$ . Con ella el sistema pasa a ser determinado.