Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2023 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 5 (bloque B). Una fábrica dispone de tres líquidos

L_{1}

L_{2}

L_{3}

, en los que se encuentran disueltas dos sustancias: sodio y magnesio. Cada litro del líquido

L_{1}

contiene

120

mg de sodio y

90

mg de magnesio, cada litro del líquido

L_{2}

contiene

100

mg de sodio y

90

mg de magnesio y cada litro del líquido

L_{3}

contiene

60

mg de sodio y

180

mg de magnesio. ¿Es posible obtener un litro de un líquido mezclando distintas cantidades de

L_{1}

L_{2}

L_{3}

en el que la cantidad de sodio y de magnesio sea de

100

mg cada una? En caso afirmativo, calcula dichas cantidades.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Sí es posible: } x = \frac{2}{9} \ \text{L de } L_{1}, \quad y = \frac{2}{3} \ \text{L de } L_{2}, \quad z = \frac{1}{9} \ \text{L de } L_{3}\;}

\boxed{\;\text{Aproximadamente } 0{,}222 \ \text{L}, \quad 0{,}667 \ \text{L} \quad \text{y} \quad 0{,}111 \ \text{L}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Aunque el enunciado solo mencione dos sustancias, hay tres ecuaciones: las dos de las cantidades de sodio y magnesio, y una tercera —la más fácil de olvidar— que dice que el volumen total es un litro.

Como la pregunta es "¿es posible?", la respuesta debe empezar discutiendo el sistema con Rouché–Frobenius. Y hay una condición extra que no está en el álgebra: las tres cantidades tienen que ser no negativas para que la mezcla exista de verdad. Conviene comprobarlo al final.

Desarrollo

Incógnitas.

x

y

z

= litros de

L_{1}

L_{2}

L_{3}

que se mezclan.

Ecuaciones.

\begin{cases} 120x + 100y + \phantom{1}60z = 100 & \text{(mg de sodio)} \\ \phantom{1}90x + \phantom{1}90y + 180z = 100 & \text{(mg de magnesio)} \\ \phantom{12}x + \phantom{10}y + \phantom{18}z = 1 & \text{(litro de mezcla)} \end{cases}

Discusión. El determinante de la matriz de coeficientes:

\left|\begin{array}{ccc} 120 & 100 & 60 \\ 90 & 90 & 180 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right| = 10\cdot 90 \left|\begin{array}{ccc} 12 & 10 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right| = 900\,\bigl[12(1-2) - 10(1-2) + 6(1-1)\bigr]

= 900\,(-12 + 10 + 0) = -1800 \neq 0

Como

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 3 =

número de incógnitas, el sistema es compatible determinado: la mezcla, si es admisible, es única.

Resolución. De la tercera ecuación,

z = 1 - x - y

. Sustituyendo en las dos primeras:

120x + 100y + 60\,(1 - x - y) = 100 \;\Longrightarrow\; 60x + 40y = 40 \;\Longrightarrow\; 3x + 2y = 2

90x + 90y + 180\,(1 - x - y) = 100 \;\Longrightarrow\; -90x - 90y = -80 \;\Longrightarrow\; x + y = \frac{8}{9}

De la segunda,

y = \frac{8}{9} - x

. Llevándolo a la primera:

3x + 2\left(\frac{8}{9} - x\right) = 2 \;\Longrightarrow\; x + \frac{16}{9} = 2 \;\Longrightarrow\; x = \frac{2}{9}

y = \frac{8}{9} - \frac{2}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}, \qquad z = 1 - \frac{2}{9} - \frac{6}{9} = \frac{1}{9}

Las tres cantidades son positivas, así que la mezcla es realizable: sí es posible.

Comprobación.

\text{Sodio: } 120\cdot\frac{2}{9} + 100\cdot\frac{2}{3} + 60\cdot\frac{1}{9} = \frac{240 + 600 + 60}{9} = \frac{900}{9} = 100 \ \text{mg} \quad \checkmark

\text{Magnesio: } 90\cdot\frac{2}{9} + 90\cdot\frac{2}{3} + 180\cdot\frac{1}{9} = \frac{180 + 540 + 180}{9} = \frac{900}{9} = 100 \ \text{mg} \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La tercera ecuación —"un litro de mezcla"— es la que casi todo el mundo olvida. Con solo las dos de sodio y magnesio tienes dos ecuaciones y tres incógnitas: sistema compatible indeterminado, infinitas mezclas, y la pregunta sin respuesta concreta.

"¿Es posible?" pide una discusión, no solo un número. Y no basta con que el sistema sea compatible: hay que comprobar que las soluciones son $\geq 0$ , porque un volumen negativo no significa nada. Aquí salen las tres positivas, pero decirlo explícitamente es lo que cierra el razonamiento.