Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2015 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix}

a) [1,75 puntos] Halla la matriz

X

que verifica

AX - B = I

(

I

denota la matriz identidad de orden

3

).

b) [0,75 puntos] Calcula el determinante de la matriz

\bigl(A^{2}B^{-1}\bigr)^{2015}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = 2, \qquad \det B = 4\;}

\boxed{\;\text{a) } AX = I+B = \begin{pmatrix} 0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}(I+B)\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} -2 & \frac72 & \frac12 \\ 3 & -4 & 1 \\ -1 & \frac32 & -\frac12\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\text{b) } \det\bigl(A^{2}B^{-1}\bigr)^{2015} = \left(\frac{2^{2}}{4}\right)^{2015} = 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Despejar $X$ antes de calcular nada: $AX = I+B$ , y como $\det A \neq 0$ ,

X = A^{-1}(I+B)

El orden importa:

A

multiplica por la izquierda, así que la inversa entra por la izquierda.

b) No hay que calcular ninguna potencia ni ninguna inversa. Solo propiedades de determinantes:

\det(MN) = \det M\cdot\det N, \qquad \det(M^{-1}) = \frac{1}{\det M}, \qquad \det(M^{n}) = (\det M)^{n}

Desarrollo

Los determinantes.

\det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9\end{vmatrix} = 1(18-12)-1(9-3)+1(4-2) = 6-6+2 = 2 \neq 0

\det B = -1(1-1)-1(-1-1)+1(1+1) = 0+2+2 = 4 \neq 0

a) Despejando $X$ .

AX - B = I \;\Longrightarrow\; AX = I+B \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}(I+B)

La matriz $I+B$ .

I+B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}

La inversa de $A$ . Con

\det A = 2

A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -\frac52 & \frac12 \\[3pt] -3 & 4 & -1 \\[3pt] 1 & -\frac32 & \frac12\end{pmatrix}

El producto.

X = A^{-1}(I+B) = \begin{pmatrix} -2 & \frac72 & \frac12 \\[3pt] 3 & -4 & 1 \\[3pt] -1 & \frac32 & -\frac12\end{pmatrix}

Comprobación.

\;AX = I+B

, luego

AX-B = I

\;\checkmark

b) El determinante de la potencia.

\det\bigl(A^{2}B^{-1}\bigr) = \det(A)^{2}\cdot\frac{1}{\det B} = \frac{2^{2}}{4} = 1

\det\Bigl(\bigl(A^{2}B^{-1}\bigr)^{2015}\Bigr) = \Bigl[\det\bigl(A^{2}B^{-1}\bigr)\Bigr]^{2015} = 1^{2015} = 1

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Consejo

Despeja antes de calcular. Pasar $B$ al otro miembro cuesta una línea; empezar a invertir matrices sin haber despejado lleva a errores y a mucho trabajo perdido.

Como $A$ multiplica por la izquierda, la solución es $X = A^{-1}(I+B)$ , no $(I+B)A^{-1}$ . El producto de matrices no es conmutativo y el orden cambia el resultado.

En b) no calcules la potencia. Con $\det(MN) = \det M\det N$ y $\det(M^{n}) = (\det M)^{n}$ el ejercicio son tres líneas. Que salga exactamente $1$ es la señal de que has aplicado bien las propiedades.