Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2011 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Dada la matriz

A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1\end{pmatrix}

a) [1 punto] Demuestra que

\;A^{2}+2A = I\;

y que

\;A^{-1} = A+2I

, siendo

I

la matriz identidad de orden

2

.

b) [1,5 puntos] Calcula la matriz

X

que verifica la ecuación

\;A^{2}+XA+5A = 4I

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A^{2} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3\end{pmatrix}, \quad A^{2}+2A = I \;\checkmark\;}

\boxed{\;A^{2}+2A = I \Rightarrow A\,(A+2I) = I \Rightarrow A^{-1} = A+2I\;}

\boxed{\;XA = 4I-A^{2}-5A = 4I-(I-2A)-5A = 3I-3A\;}

\boxed{\;X = 3\,(I-A)A^{-1} = 3\,(A+I) = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 6 & 0\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) es la herramienta para el b): la relación

A^{2} = I-2A

permite eliminar el cuadrado y trabajar solo con

A

I

.

La segunda parte de a) sale de la primera sin calcular nada: si

A^{2}+2A = I

, sacando factor común

A

por la izquierda,

A\,(A+2I) = I

y esa es justamente la definición de matriz inversa.

Desarrollo

a) Primera identidad.

A^{2} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2 & -1-1 \\ -2-2 & 2+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3\end{pmatrix}

2A = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 4 & -2\end{pmatrix}

A^{2}+2A = \begin{pmatrix} 3-2 & -2+2 \\ -4+4 & 3-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I \;\checkmark

Segunda identidad. De

A^{2}+2A = I

, sacando factor común

A

A\,(A+2I) = I \;\Longrightarrow\; A^{-1} = A+2I \;\checkmark

(La igualdad $XY = I$ con matrices cuadradas basta para afirmar que $Y = X^{-1}$ .)

Comprobación numérica.

A+2I = \begin{pmatrix} -1+2 & 1 \\ 2 & -1+2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}

A\,(A+2I) = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+2 & -1+1 \\ 2-2 & 2-1\end{pmatrix} = I \;\checkmark

b) La ecuación. Despejamos el término con

X

XA = 4I-A^{2}-5A

Usamos la relación de a):

\;A^{2} = I-2A

XA = 4I-(I-2A)-5A = 4I-I+2A-5A = 3I-3A

Multiplicamos por $A^{-1}$ por la derecha (porque

A

está a la derecha de

X

X = \bigl(3I-3A\bigr)A^{-1} = 3\,A^{-1}-3\,A\,A^{-1} = 3\,A^{-1}-3I

Y como $A^{-1} = A+2I$ :

X = 3\,(A+2I)-3I = 3A+6I-3I = 3A+3I = 3\,(A+I)

A+I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; X = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 6 & 0\end{pmatrix}

Comprobación.

XA = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 6 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ -6 & 6\end{pmatrix}

A^{2}+XA+5A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 6 & -3 \\ -6 & 6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -5 & 5 \\ 10 & -5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4\end{pmatrix} = 4I \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuando un apartado te regala una relación algebraica ( $A^{2} = I-2A$ ), úsala: sustituir $A^{2}$ evita cuentas y es lo que el enunciado espera de ti.

Recuerda de qué lado multiplicar: en $XA = M$ , la $A$ está a la derecha, así que $X = M\,A^{-1}$ . Al revés obtendrías otra matriz distinta.

Que $A\,(A+2I) = I$ implique $A^{-1} = A+2I$ es la definición de inversa; no hace falta calcular determinantes ni adjuntas. Vale la pena escribirlo así en el examen.