Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2017 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones lineales dado por

A\,X = B

siendo

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & m-2\end{pmatrix}, \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} m \\ 2m+1 \\ m-1\end{pmatrix}

a) [1,25 puntos] Discute el sistema según los valores de

m

.

b) [1,25 puntos] Para

m = 2

, calcula, si es posible, una solución del sistema anterior para la que

z = 17

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = -2\,(m-2)\;}

\boxed{\;m \neq 2: \text{ compatible determinado} \qquad\big|\qquad m = 2: \text{ compatible indeterminado}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \left(\tfrac{5-3t}{2},\; \tfrac{t-1}{2},\; t\right); \qquad \text{con } z = 17: \; (-23,\, 8,\, 17)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché–Frobenius. El determinante sale de primer grado en

m

, así que hay un único valor crítico. Como el parámetro aparece también en los términos independientes, en ese caso hay que estudiar con cuidado el rango de la ampliada.

En b) el valor

m=2

es justo el crítico, así que el sistema estará indeterminado y bastará ajustar el parámetro para conseguir

z = 17

Desarrollo

a) Determinante. Desarrollando por la primera fila:

|A| = 1\,\bigl[0 - 9\bigr] - 1\,\bigl[2(m-2) - 3\bigr] + 1\,\bigl[6 - 0\bigr]

= -9 - 2m + 4 + 3 + 6 = -2m + 4 = -2\,(m - 2)

|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 2

Caso $m \neq 2$ .

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 3

: compatible determinado.

Caso $m = 2$ .

A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 & 5 \\ 1 & 3 & 0 & 1\end{array}\right)

El menor

\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 0\end{array}\right| = -2 \neq 0

\operatorname{rg}(A) = 2

. Orlando con la columna de términos independientes:

\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 5 \\ 1 & 3 & 1\end{array}\right| = 1\,(0 - 15) - 1\,(2 - 5) + 2\,(6 - 0) = -15 + 3 + 12 = 0

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{compatible indeterminado}

(Se ve igual de bien en las ecuaciones: $3E_{1} - E_{2} = (1,\,3,\,0\;|\;1)$ , que es exactamente la tercera. Es redundante, término independiente incluido.)

b) Resolución con $m = 2$ . Tomamos las dos primeras ecuaciones y

z = t

como parámetro:

\begin{cases} x + y = 2 - t \\ 2x \phantom{{}+ y} = 5 - 3t\end{cases}

De la segunda:

x = \frac{5 - 3t}{2}

Y de la primera:

y = 2 - t - x = 2 - t - \frac{5-3t}{2} = \frac{4 - 2t - 5 + 3t}{2} = \frac{t - 1}{2}

(x, y, z) = \left(\frac{5-3t}{2},\; \frac{t-1}{2},\; t\right), \qquad t\in\mathbb{R}

Solución con $z = 17$ . Basta tomar

t = 17

x = \frac{5 - 51}{2} = \frac{-46}{2} = -23, \qquad y = \frac{17-1}{2} = 8

(x, y, z) = (-23,\, 8,\, 17)

Comprobación:

\;-23 + 8 + 17 = 2\;\checkmark

;

\;2(-23) + 3(17) = -46 + 51 = 5\;\checkmark

;

\;-23 + 24 + 0 = 1\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que el determinante salga de primer grado simplifica la discusión a dos casos, pero no la elimina: en $m=2$ sigue habiendo que orlar para distinguir entre incompatible e indeterminado. Aquí el orlado se anula y hay infinitas soluciones.

Cuidado: el parámetro aparece también en $B$ , así que la columna de términos independientes cambia con $m$ . No se puede reutilizar el estudio de un caso para otro.

Una vez que tienes la solución general en función de $t$ , la condición $z=17$ es simplemente $t=17$ : no hay que resolver nada nuevo. Y comprobar las tres ecuaciones al final cuesta treinta segundos.