Opción B · Ejercicio 3. Sean A, B, C y X matrices cualesquiera que verifican \;AXB = C. a) [1 punto] Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que el determinante de A es 3, el de B es -1 y el de C es 6, calcula el determinante de las matrices X y 2X. b) [1,5 puntos] Si \;A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -2\end{pmatrix}, \;B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -3\end{pmatrix}\; y \;C = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 4 & 2\end{pmatrix}, calcula la matriz X.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2009 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Sean

A

B

C

X

matrices cualesquiera que verifican

\;AXB = C

.

a) [1 punto] Si las matrices son cuadradas de orden

3

, y se sabe que el determinante de

A

3

, el de

B

-1

y el de

C

6

, calcula el determinante de las matrices

X

2X

.

b) [1,5 puntos] Si

\;A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -2\end{pmatrix}

\;B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -3\end{pmatrix}\;

\;C = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 4 & 2\end{pmatrix}

, calcula la matriz

X

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Resultado

\boxed{\;|A|\,|X|\,|B| = |C| \;\Longrightarrow\; 3\,|X|\,(-1) = 6 \;\Longrightarrow\; |X| = -2\;}

\boxed{\;|2X| = 2^{3}|X| = 8\,(-2) = -16 \quad (\text{orden } 3)\;}

\boxed{\;\text{b) } X = A^{-1}CB^{-1}; \quad A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac12 \\ 0 & -\tfrac12\end{pmatrix}, \ B^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -2 & 1\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} -14 & 8 \\ 8 & -5\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Se toman determinantes en la igualdad y se usa $|AXB| = |A|\,|X|\,|B|$ . Después, la trampa habitual: $|2X| = 2^{3}|X|$ , no $2|X|$ (el orden es $3$ ).
b) Con $X$ entre dos matrices, se despeja por los dos lados:

X = A^{-1}\,C\,B^{-1}

Desarrollo

a) Los determinantes. Tomando determinantes en

AXB = C

|A|\cdot|X|\cdot|B| = |C|

3\cdot|X|\cdot(-1) = 6 \;\Longrightarrow\; -3\,|X| = 6 \;\Longrightarrow\; |X| = -2

El determinante de $2X$ . Como las matrices son de orden

n = 3

|2X| = 2^{3}\,|X| = 8\cdot(-2) = -16

b) La matriz $X$ .

La inversa de $A$ .

\det A = (1)(-2)-(1)(0) = -2

A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac12 \\ 0 & -\tfrac12\end{pmatrix}

La inversa de $B$ .

\det B = (1)(-3)-(-2)(2) = -3+4 = 1

B^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -2 & 1\end{pmatrix}

Primero $A^{-1}C$ .

A^{-1}C = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac12 \\ 0 & -\tfrac12\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 4 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+2 & 3+1 \\ 0-2 & 0-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -2 & -1\end{pmatrix}

Y ahora por $B^{-1}$ .

X = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -2 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6-8 & 4+4 \\ 6+2 & -4-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14 & 8 \\ 8 & -5\end{pmatrix}

Comprobación.

AX = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -14 & 8 \\ 8 & -5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 3 \\ -16 & 10\end{pmatrix}

(AX)\,B = \begin{pmatrix} -6 & 3 \\ -16 & 10\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6+6 & 12-9 \\ -16+20 & 32-30\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 4 & 2\end{pmatrix} = C \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$|2X| = 2^{n}|X|$ , con $n$ el orden de la matriz. Aquí $n=3$ , así que el factor es $8$ , no $2$ . Es la propiedad que más puntos hace perder.

En a) no hace falta conocer ninguna matriz: tomando determinantes en la igualdad, el problema se convierte en una ecuación con números.

En b), $A^{-1}$ entra por la izquierda y $B^{-1}$ por la derecha. El orden $X = A^{-1}CB^{-1}$ no es intercambiable: el producto de matrices no conmuta.