Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2017 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & m-1 \\ 0 & m-1 & 2-m \\ 0 & -1 & 2-m\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} -1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 \\ \phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & -1\end{pmatrix}

a) [1 punto] Determina los valores de

m

para los que la matriz

A

no tiene inversa.

b) [1,5 puntos] Para

m = 1

, calcula, si existe, la matriz

X

que verifica la igualdad

A^{-1}X\,A + I = B

, siendo

I

la matriz identidad.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = m\,(2-m) = 0 \;\Longrightarrow\; m = 0 \text{ o } m = 2\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A^{-1}X\,A = B - I \;\Longrightarrow\; X = A\,(B-I)\,A^{-1}\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -3\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), "no tiene inversa" es simplemente

|A| = 0

. La primera columna tiene dos ceros, así que el determinante se calcula en una línea.

En b) la ecuación tiene a

X

encajada entre dos factores:

A^{-1}X\,A + I = B \;\Longrightarrow\; A^{-1}X\,A = B - I

Para liberar

X

hay que multiplicar por

A

por la izquierda (para cancelar el

A^{-1}

) y por

A^{-1}

por la derecha (para cancelar la

A

X = A\,\bigl(B - I\bigr)\,A^{-1}

El orden de los factores es la clave del ejercicio.

Desarrollo

a) Determinante. Desarrollando por la primera columna (solo el

1

de arriba):

|A| = 1\cdot\left|\begin{array}{cc} m-1 & 2-m \\ -1 & 2-m\end{array}\right| = (m-1)(2-m) + (2-m)

= (2-m)\bigl[(m-1) + 1\bigr] = m\,(2-m) = -m\,(m-2)

|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 0 \quad \text{o} \quad m = 2

A \text{ no tiene inversa para } m = 0 \text{ y } m = 2

b) Caso $m = 1$ .

A = \begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}0 & 0 \\ 0 & \phantom{-}0 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}, \qquad |A| = -1\cdot(1-2) = 1 \neq 0

La inversa de $A$ . Con

|A| = 1

, los adjuntos dan

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 \\ 0 & \phantom{-}1 & -1 \\ 0 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0\end{pmatrix}

(Comprobación: $A\,A^{-1} = I$ .)

El término independiente.

B - I = \begin{pmatrix} -2 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 \\ \phantom{-}1 & -2 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & -2\end{pmatrix}

Despeje.

A^{-1}X\,A = B - I \;\Longrightarrow\; X = A\,\bigl(B-I\bigr)\,A^{-1}

Primer producto.

A\,(B-I) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & -2 \\ -1 & \phantom{-}3 & -2\end{pmatrix}

Segundo producto.

X = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ -1 & 3 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & \phantom{-}0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & \phantom{-}0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}0 & -1 & -1 \\ -1 & \phantom{-}1 & -3\end{pmatrix}

Comprobación.

A^{-1}X\,A + I = B \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con $X$ encajada entre dos factores, hay que multiplicar por los dos lados y en el orden correcto: $A$ por la izquierda (cancela $A^{-1}$ ) y $A^{-1}$ por la derecha (cancela $A$ ). El resultado es $X = A(B-I)A^{-1}$ , y cambiar el orden da una matriz distinta.

Ojo al signo del determinante: $(m-1)(2-m) + (2-m) = (2-m)\,m$ . Sacar factor común $(2-m)$ evita desarrollar y equivocarse; el resultado es una parábola con raíces $0$ y $2$ .

Y no confundas $B - I$ con $B - 1$ : hay que restar la identidad, lo que solo afecta a la diagonal. La comprobación final, $A^{-1}XA + I = B$ , valida el despeje y las cuentas de golpe.