Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2023 · Junio

Enunciado

Ejercicio 5 (bloque B). Una marca de vehículos ha vendido este mes coches de tres colores: blancos, negros y rojos. El

60\,\%

de los coches blancos más el

50\,\%

de los coches negros representan el

30\,\%

de los coches vendidos. El

20\,\%

de los coches blancos junto con el

60\,\%

de los coches negros y el

60\,\%

de los coches rojos representan la mitad de los coches vendidos. Se han vendido

100

coches negros más que blancos. Determina el número de coches vendidos de cada color.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;500 \text{ coches blancos}, \quad 600 \text{ coches negros}, \quad 900 \text{ coches rojos} \quad (2000 \text{ en total})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El detalle que decide el ejercicio es que "los coches vendidos" no es un dato: es la suma

x + y + z

de las tres incógnitas. Si se introduce un cuarto símbolo para el total, el sistema queda con cuatro incógnitas y no sale.

Escribiendo el total como

x+y+z

, cada porcentaje se convierte en una ecuación lineal homogénea (las dos primeras) y la tercera condición da la ecuación no homogénea que fija la escala. Después, resolución rutinaria por Gauss o Cramer.

Desarrollo

Incógnitas.

x

= coches blancos,

y

= coches negros,

z

= coches rojos. El total vendido es

T = x + y + z

.

Primera condición.

0{,}6x + 0{,}5y = 0{,}3\,(x + y + z)

0{,}6x + 0{,}5y = 0{,}3x + 0{,}3y + 0{,}3z \;\Longrightarrow\; 0{,}3x + 0{,}2y - 0{,}3z = 0

Multiplicando por

10

3x + 2y - 3z = 0

Segunda condición.

0{,}2x + 0{,}6y + 0{,}6z = 0{,}5\,(x + y + z)

0{,}2x + 0{,}6y + 0{,}6z = 0{,}5x + 0{,}5y + 0{,}5z \;\Longrightarrow\; -0{,}3x + 0{,}1y + 0{,}1z = 0

Multiplicando por

10

-3x + y + z = 0 \;\Longleftrightarrow\; z = 3x - y

Tercera condición. "Cien coches negros más que blancos":

y = x + 100 \;\Longleftrightarrow\; -x + y = 100

El sistema.

\begin{cases} 3x + 2y - 3z = 0 \\ -3x + \phantom{2}y + \phantom{3}z = 0 \\ -\phantom{3}x + \phantom{2}y \phantom{{}+{}3z} = 100 \end{cases}

Su determinante es

\left|\begin{array}{ccc} 3 & 2 & -3 \\ -3 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right| = 3(0 - 1) - 2(0 + 1) + (-3)(-3 + 1) = -3 - 2 + 6 = 1 \neq 0

luego es compatible determinado por el teorema de Rouché–Frobenius.

Resolución por sustitución. De la tercera,

y = x + 100

. Llevándolo a

z = 3x - y

z = 3x - (x + 100) = 2x - 100

Y sustituyendo ambas en la primera ecuación:

3x + 2(x + 100) - 3(2x - 100) = 0 \;\Longrightarrow\; 3x + 2x + 200 - 6x + 300 = 0 \;\Longrightarrow\; -x + 500 = 0

x = 500, \qquad y = 600, \qquad z = 900

El total vendido es

T = 500 + 600 + 900 = 2000

coches.

Comprobación.

0{,}6\cdot 500 + 0{,}5\cdot 600 = 300 + 300 = 600 = 0{,}3 \cdot 2000 \quad \checkmark

0{,}2\cdot 500 + 0{,}6\cdot 600 + 0{,}6\cdot 900 = 100 + 360 + 540 = 1000 = 0{,}5\cdot 2000 \quad \checkmark

600 - 500 = 100 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No introduzcas una cuarta incógnita para "el total de coches vendidos". El total es $x+y+z$ , y escribirlo así es lo que convierte las dos primeras frases en ecuaciones homogéneas de tres incógnitas. Con una cuarta variable el sistema queda indeterminado y no hay forma de terminar.

Trabaja con las ecuaciones ya limpias de decimales (multiplica por $10$ nada más plantearlas): los errores aritméticos en este tipo de problema casi siempre vienen de arrastrar $0{,}3$ y $0{,}6$ por toda la eliminación gaussiana.