Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2014 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 0\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -3 \\ 3 & -1 & -3 \\ -1 & -2 & -1\end{pmatrix}

a) [0,5 puntos] Calcula

A^{-1}

.

b) [2 puntos] Halla la matriz

X

que verifica que

A^{t}X+B = I

, siendo

I

la matriz identidad y

A^{t}

la matriz traspuesta de

A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = -1 \neq 0; \qquad A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -6 & 2 \\ -2 & 4 & -1 \\ -1 & 3 & -1\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;A^{t}X = I-B \;\Longrightarrow\; X = \bigl(A^{t}\bigr)^{-1}(I-B) = \bigl(A^{-1}\bigr)^{t}(I-B)\;}

\boxed{\;I-B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 3 \\ -3 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} 2 & -6 & 1 \\ -3 & 14 & 0 \\ 0 & -4 & 1\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Inversa por el método de la matriz adjunta: $A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\bigl(\operatorname{Adj}A\bigr)^{t}$ . Hay que empezar comprobando $\det A\neq0$ .
b) Ecuación lineal: se despeja $\;A^{t}X = I-B\;$ y, como $A^{t}$ multiplica por la izquierda, se multiplica por $\bigl(A^{t}\bigr)^{-1}$ por la izquierda:

X = \bigl(A^{t}\bigr)^{-1}\bigl(I-B\bigr)

Y un atajo que ahorra medio ejercicio:

\;\bigl(A^{t}\bigr)^{-1} = \bigl(A^{-1}\bigr)^{t}

, así que la inversa de a) se reutiliza, solo hay que trasponerla.

Desarrollo

a) El determinante.

\det A = 1\,(1\cdot0-1\cdot3)-0+2\,(1\cdot3-1\cdot2) = -3+2 = -1 \neq 0

La matriz de adjuntos (cada elemento, su menor con el signo

(-1)^{i+j}

\operatorname{Adj}A = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 1 \\ 6 & -4 & -3 \\ -2 & 1 & 1\end{pmatrix}

(Por ejemplo, $A_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 0\end{vmatrix} = -3$ y $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0\end{vmatrix} = 2$ .)

La inversa, trasponiendo y dividiendo por

\det A = -1

A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} -3 & 6 & -2 \\ 2 & -4 & 1 \\ 1 & -3 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -6 & 2 \\ -2 & 4 & -1 \\ -1 & 3 & -1\end{pmatrix}

Comprobación.

\;A\,A^{-1} = I

(primera fila de

A

por las columnas de

A^{-1}

3+0-2 = 1

;

-6+0+6 = 0

;

2+0-2 = 0

)

\;\checkmark

b) Despejando $X$ .

A^{t}X+B = I \;\Longrightarrow\; A^{t}X = I-B \;\Longrightarrow\; X = \bigl(A^{t}\bigr)^{-1}\bigl(I-B\bigr)

La matriz $I-B$ .

I-B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 0 & -3 \\ 3 & -1 & -3 \\ -1 & -2 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 3 \\ -3 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2\end{pmatrix}

La inversa de la traspuesta. Usando

\bigl(A^{t}\bigr)^{-1} = \bigl(A^{-1}\bigr)^{t}

\bigl(A^{t}\bigr)^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -1 \\ -6 & 4 & 3 \\ 2 & -1 & -1\end{pmatrix}

El producto.

X = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -1 \\ -6 & 4 & 3 \\ 2 & -1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 & 3 \\ -3 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2\end{pmatrix}

Fila a fila:

F_{1}: \ (-3+6-1,\; 0-4-2,\; 9-6-2) = (2,\; -6,\; 1)

F_{2}: \ (6-12+3,\; 0+8+6,\; -18+12+6) = (-3,\; 14,\; 0)

F_{3}: \ (-2+3-1,\; 0-2-2,\; 6-3-2) = (0,\; -4,\; 1)

X = \begin{pmatrix} 2 & -6 & 1 \\ -3 & 14 & 0 \\ 0 & -4 & 1\end{pmatrix}

Comprobación.

\;A^{t}X = I-B

, es decir,

A^{t}X+B = I

\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El atajo del ejercicio es $\bigl(A^{t}\bigr)^{-1} = \bigl(A^{-1}\bigr)^{t}$ : la inversa del apartado a) sirve directamente, solo hay que trasponerla. Calcular la inversa de $A^{t}$ desde cero duplica el trabajo.

Como $A^{t}$ multiplica por la izquierda, su inversa entra por la izquierda: $X = (A^{t})^{-1}(I-B)$ , no $(I-B)(A^{t})^{-1}$ .

Comprueba $A\,A^{-1} = I$ antes de usar la inversa en b). Un error en el apartado a) arrastra todo el b), que vale cuatro veces más.