Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2011 · Reserva 6 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Dada la matriz

A = \begin{pmatrix} \lambda+1 & 0 \\ 1 & -1\end{pmatrix}

a) [1,25 puntos] Determina los valores de

\lambda

para los que la matriz

\;A^{2}+3A\;

no tiene inversa.

b) [1,25 puntos] Para

\lambda = 0

, halla la matriz

X

que verifica la ecuación

\;AX+A = 2I

, siendo

I

la matriz identidad de orden

2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A^{2}+3A = A\,(A+3I) \;\Longrightarrow\; \det = \det A\cdot\det(A+3I)\;}

\boxed{\;\det A = -(\lambda+1), \quad \det(A+3I) = 2\,(\lambda+4)\;}

\boxed{\;\det\bigl(A^{2}+3A\bigr) = -2\,(\lambda+1)(\lambda+4) = 0 \iff \lambda = -1, \ -4\;}

\boxed{\;\lambda = 0: \ A^{2} = I \Rightarrow X = A\,(2I-A) = 2A-I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -3\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) "No tiene inversa" $\iff \det\bigl(A^{2}+3A\bigr) = 0$ . El atajo elegante es factorizar antes de calcular:

A^{2}+3A = A\,(A+3I) \;\Longrightarrow\; \det\bigl(A^{2}+3A\bigr) = \det A\cdot\det(A+3I)

Dos determinantes

2\times2

triangulares, inmediatos.

b) Se despeja $AX = 2I-A$ y se multiplica por $A^{-1}$ por la izquierda.

Desarrollo

a) Factorizamos. Como

3A = A\cdot3I

A^{2}+3A = A\,(A+3I)

\det\bigl(A^{2}+3A\bigr) = \det A\cdot\det(A+3I)

Los dos determinantes (ambas matrices son triangulares inferiores):

\det A = \begin{vmatrix} \lambda+1 & 0 \\ 1 & -1\end{vmatrix} = -(\lambda+1)

A+3I = \begin{pmatrix} \lambda+4 & 0 \\ 1 & 2\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; \det(A+3I) = 2\,(\lambda+4)

\det\bigl(A^{2}+3A\bigr) = -(\lambda+1)\cdot2\,(\lambda+4) = -2\,(\lambda+1)(\lambda+4)

\textbf{No tiene inversa} \;\Longleftrightarrow\; \lambda = -1 \quad \text{o} \quad \lambda = -4

(Comprobación directa: $A^{2} = \begin{pmatrix} (\lambda+1)^{2} & 0 \\ \lambda & 1\end{pmatrix}$ , luego $A^{2}+3A = \begin{pmatrix} \lambda^{2}+5\lambda+4 & 0 \\ \lambda+3 & -2\end{pmatrix}$ , con determinante $-2\,(\lambda^{2}+5\lambda+4)$ $\checkmark$ )

b) Con $\lambda = 0$ .

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1\end{pmatrix}, \qquad \det A = -1 \neq 0

Una propiedad útil:

A^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I \;\Longrightarrow\; A^{-1} = A

Despejamos.

AX+A = 2I \;\Longrightarrow\; AX = 2I-A

X = A^{-1}\,(2I-A) = A\,(2I-A) = 2A-A^{2} = 2A-I

X = 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1 & 0 \\ 2-0 & -2-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -3\end{pmatrix}

Comprobación.

AX = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1-2 & 0+3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3\end{pmatrix}

AX+A = \begin{pmatrix} 1+1 & 0 \\ -1+1 & 3-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} = 2I \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Factoriza antes de multiplicar: $A^{2}+3A = A(A+3I)$ convierte el problema en dos determinantes triviales, en vez de calcular $A^{2}$ con un parámetro dentro.

Cuidado: $3A = A\cdot3I$ , así que el factor común es $A+3I$ , no $A+3$ . Sumar un número a una matriz no está definido.

Detectar que $A^{2} = I$ (matriz involutiva) ahorra todo el cálculo de la inversa: en ese caso $A^{-1} = A$ y la respuesta sale en dos líneas.