Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2018 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera las siguientes matrices

A = \begin{pmatrix} 0 & \phantom{-}0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & \phantom{-}0 & 0\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} \phantom{-}a & b & c \\ \phantom{-}0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix}

a) [0,75 puntos] Determina, si existen, los valores de

a

b

c

para los que las matrices

A

B

conmutan.

b) [1 punto] Calcula

A^{2}

A^{3}

A^{2017}

A^{2018}

.

c) [0,75 puntos] Calcula, si existe, la matriz inversa de

A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad a = 0,\; b = 0,\; c = -1 \qquad (\text{es decir, } B = -A)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A^{2} = I; \qquad A^{3} = A; \qquad A^{2017} = A; \qquad A^{2018} = I\;}

\boxed{\;\text{c)}\quad A^{2} = I \;\Longrightarrow\; A^{-1} = A\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El descubrimiento que resuelve los apartados b) y c) de golpe es

A^{2} = I

Una matriz que cumple eso se llama involutiva, y tiene dos consecuencias inmediatas:

Sus potencias solo toman dos valores: $A^{n} = I$ si $n$ es par y $A^{n} = A$ si $n$ es impar.
Es su propia inversa: $A^{-1} = A$ , sin necesidad de calcular adjuntos.

El apartado a) es independiente: se desarrollan

A\,B

B\,A

y se igualan entrada a entrada.

Desarrollo

a) Los dos productos.

A\,B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & \phantom{-}0 & 0 \\ \phantom{-}0 & -1 & 0 \\ \phantom{-}a & \phantom{-}b & c\end{pmatrix}

B\,A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phantom{-}c & -b & a \\ \phantom{-}0 & -1 & 0 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -1\end{pmatrix}

Igualando entrada a entrada.

(1,1): \; -1 = c \qquad (1,2): \; 0 = -b \qquad (1,3): \; 0 = a

(3,1): \; a = 0 \qquad (3,2): \; b = 0 \qquad (3,3): \; c = -1

Todas son compatibles entre sí:

a = 0, \qquad b = 0, \qquad c = -1

(Es decir, $B = -A$ ; y toda matriz conmuta con sus múltiplos escalares, así que el resultado tenía que salir así.)

b) Potencias de $A$ .

A^{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = I

A partir de ahí, todo es inmediato:

A^{3} = A^{2}\cdot A = I\cdot A = A

A^{2017} = \bigl(A^{2}\bigr)^{1008}\cdot A = I^{1008}\cdot A = A \qquad (2017 \text{ es impar})

A^{2018} = \bigl(A^{2}\bigr)^{1009} = I \qquad (2018 \text{ es par})

c) Inversa. De

A^{2} = I

se deduce directamente que

A

es invertible y

A^{-1} = A = \begin{pmatrix} 0 & \phantom{-}0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & \phantom{-}0 & 0\end{pmatrix}

(Coherente con $|A| = 1 \neq 0$ , calculado desarrollando por la primera fila: $|A| = 1\cdot(0\cdot 0 - (-1)\cdot 1) = 1$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Calcula $A^{2}$ antes de nada. Si sale la identidad (o una potencia pequeña de ella), los apartados de potencias grandes se resuelven mirando la paridad del exponente, sin ninguna cuenta más. Multiplicar matrices 2017 veces no es el camino.

$A^{2} = I$ también responde al apartado c) de una línea: $A$ es su propia inversa. Calcular los nueve adjuntos es correcto pero completamente innecesario.

En a), recuerda que una igualdad de matrices $3\times 3$ son nueve ecuaciones. Aquí muchas son $0=0$ y las demás se repiten, pero hay que desarrollar los dos productos: no se puede "ver" la conmutatividad sin hacerlo.