Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Determinantes

Andalucía · 2025 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque con optatividad 2). Se considera la matriz

M = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \qquad\text{con determinante igual a } -5

a) [1,25 puntos] Calcula

\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{31} & 2a_{21} \\ 3a_{12} & 3a_{32} & 6a_{22} \\ 2a_{13} & 2a_{33} & 4a_{23} \end{array}\right|

b) [1,25 puntos] Calcula

\left|\begin{array}{ccc} 2a_{11} - 3a_{31} & 2a_{12} - 3a_{32} & 4a_{13} - 6a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & 2a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 2a_{33} \end{array}\right|

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad D_{a} = 12\,|N| = 12\cdot 5 = 60\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad D_{b} = 4\,|M| = -20\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Aquí no hay ningún número que calcular: no se puede desarrollar nada. Todo el ejercicio consiste en aplicar, una a una, las propiedades de los determinantes hasta reducir cada uno a

|M| = -5

Si una fila (o columna) se multiplica por $k$ , el determinante queda multiplicado por $k$ .
$|M^{t}| = |M|$ .
Intercambiar dos filas cambia el signo.
Si una fila es suma de dos, el determinante se descompone en suma de dos determinantes.
Un determinante con dos filas iguales vale $0$ .

La otra mitad del trabajo es de lectura: darse cuenta de cómo están colocados los índices. En a), los subíndices "van al revés" (los índices de fila de

M

aparecen como columnas), señal de que hay una trasposición de por medio.

Desarrollo

a) Empezamos sacando los factores comunes. La segunda fila tiene un

3

común y la tercera un

2

D_{a} = \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{31} & 2a_{21} \\ 3a_{12} & 3a_{32} & 6a_{22} \\ 2a_{13} & 2a_{33} & 4a_{23} \end{array}\right| = 3\cdot 2\cdot\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{31} & 2a_{21} \\ a_{12} & a_{32} & 2a_{22} \\ a_{13} & a_{33} & 2a_{23} \end{array}\right|

Ahora la tercera columna tiene un

2

común:

D_{a} = 6\cdot 2\cdot\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{31} & a_{21} \\ a_{12} & a_{32} & a_{22} \\ a_{13} & a_{33} & a_{23} \end{array}\right| = 12\,\bigl|N\bigr|

Ese determinante

|N|

se relaciona con

|M|

trasponiendo (el determinante no cambia):

|N| = \bigl|N^{t}\bigr| = \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array}\right|

y esta última matriz es

M

con las filas segunda y tercera intercambiadas, lo que cambia el signo:

|N| = -\,|M| = -(-5) = 5

Por tanto

D_{a} = 12 \cdot 5 = 60

b) De nuevo empezamos por el factor común. La tercera columna es

\bigl(4a_{13}-6a_{33},\ 2a_{23},\ 2a_{33}\bigr) = 2\bigl(2a_{13}-3a_{33},\ a_{23},\ a_{33}\bigr)

D_{b} = 2\left|\begin{array}{ccc} 2a_{11} - 3a_{31} & 2a_{12} - 3a_{32} & 2a_{13} - 3a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|

La primera fila es ahora

2\,F_{1}(M) - 3\,F_{3}(M)

. Descomponemos por linealidad en la primera fila:

D_{b} = 2\left[\,2\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right| \;-\; 3\left|\begin{array}{ccc} a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|\,\right]

El segundo determinante tiene la primera y la tercera fila iguales, luego vale

0

D_{b} = 2\bigl[\,2\,|M| - 3\cdot 0\,\bigr] = 4\,|M| = 4\cdot(-5) = -20

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Saca un factor por línea, no un factor global. El error más caro de este ejercicio es escribir "saco un $6$ de todo el determinante": si multiplicas una matriz $3\times 3$ entera por $k$ , el determinante se multiplica por $k^{3}$ , no por $k$ . Aquí los factores salen fila a fila y columna a columna.

Fíjate en el orden de los subíndices: en a) las columnas del nuevo determinante son las filas de $M$ . Eso avisa de que hay que trasponer, y la trasposición no cambia el determinante, pero el intercambio de filas que viene después sí cambia el signo.