Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2019 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. [2,5 puntos] Calcula, en grados, los tres ángulos de un triángulo sabiendo que el menor de ellos es la mitad del ángulo mayor y que la suma del ángulo menor y el ángulo mayor es el doble del otro ángulo.

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Resultado

\boxed{\;\begin{cases} 2x - z = 0 \\ x - 2y + z = 0 \\ x + y + z = 180\end{cases}\;}

\boxed{\;(x+z) + y = 3y = 180 \Rightarrow y = 60; \quad x + z = 120 \text{ con } z = 2x \Rightarrow x = 40,\; z = 80\;}

\boxed{\;\text{Los ángulos son } 40^{\circ},\; 60^{\circ} \text{ y } 80^{\circ}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Problema de planteamiento: lo difícil no son las cuentas, sino traducir el enunciado a ecuaciones.

Tres incógnitas

\Rightarrow

hacen falta tres ecuaciones, y solo dos las da el enunciado explícitamente. La tercera es la que siempre se olvida: los ángulos de un triángulo suman $180^{\circ}$ .

Además, el sistema tiene una estructura que permite resolverlo casi de cabeza: combinando la segunda condición con la suma total, el ángulo intermedio queda determinado de inmediato.

Desarrollo

Incógnitas. Sean

x = \text{ángulo menor}, \qquad y = \text{ángulo intermedio}, \qquad z = \text{ángulo mayor}

Traducción del enunciado.

"El menor es la mitad del mayor":

x = \frac{z}{2} \;\Longleftrightarrow\; 2x - z = 0

"La suma del menor y el mayor es el doble del otro":

x + z = 2y

Propiedad del triángulo (la condición que no aparece escrita):

x + y + z = 180

Resolución. Sustituyendo la segunda en la tercera:

\underbrace{(x + z)}_{=\,2y} + y = 180 \;\Longrightarrow\; 3y = 180 \;\Longrightarrow\; y = 60

Con eso,

x + z = 2\cdot 60 = 120

. Y usando

z = 2x

x + 2x = 120 \;\Longrightarrow\; 3x = 120 \;\Longrightarrow\; x = 40

z = 2\cdot 40 = 80

x = 40^{\circ}, \qquad y = 60^{\circ}, \qquad z = 80^{\circ}

Comprobación de las tres condiciones.

40 = \frac{80}{2} \;\checkmark \qquad 40 + 80 = 120 = 2\cdot 60 \;\checkmark \qquad 40 + 60 + 80 = 180 \;\checkmark

Y además el orden es coherente:

40 < 60 < 80

, así que

x

es efectivamente el menor y

z

el mayor. El triángulo es acutángulo.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La ecuación que falta casi nunca está en el enunciado: aquí es que los ángulos de un triángulo suman $180^{\circ}$ . En los problemas de planteamiento, cuando te salen menos ecuaciones que incógnitas, busca la propiedad geométrica o aritmética implícita antes de pensar que el problema está mal.

Aprovecha la estructura antes de lanzarte a Gauss: como $x+z = 2y$ , sustituirlo en la suma total da $3y = 180$ de un plumazo. Montar la matriz $3\times 3$ y hacer Rouché es correcto, pero mucho más lento.

Y verifica el orden al final: si te salieran, por ejemplo, $x > z$ , el planteamiento estaría mal etiquetado aunque los números sumasen $180$ .