Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Determinantes

Andalucía · 2018 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera la matriz

M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 0 & 3 \\ x & y & z\end{pmatrix}

Sabiendo que el determinante de

M

2

, calcula los siguientes determinantes e indica las propiedades que utilices:

a) [0,75 puntos] El determinante de la matriz

5M^{4}

.

b) [0,75 puntos]

\displaystyle\left|\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ x & y & z\end{array}\right|

c) [1 punto]

\displaystyle\left|\begin{array}{ccc} 1 & x+6 & x \\ 2 & y & y \\ 3 & z+3 & z\end{array}\right|

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \bigl|5M^{4}\bigr| = 5^{3}|M|^{4} = 125\cdot 16 = 2000\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \tfrac13\,F_{2}(M) \text{ y } F_{1}(M) \text{ intercambiadas} \;\Longrightarrow\; \tfrac13\,(-|M|) = -\frac{2}{3}\;}

\boxed{\;\text{c)}\quad C_{2} = C_{3} + (6,0,3)^{t} \;\Longrightarrow\; 0 + \bigl|M^{t}\bigr| = |M| = 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Ejercicio de propiedades: no hay que calcular ningún determinante desarrollándolo, sino relacionar cada matriz con

M

. Las herramientas son:

$|kA| = k^{n}|A|$ y $\bigl|A^{n}\bigr| = |A|^{n}$ .
Multiplicar una línea por $k$ multiplica el determinante por $k$ .
Intercambiar dos líneas cambia el signo.
Sumar a una línea un múltiplo de otra no cambia el determinante; y si una columna es suma de dos, el determinante se descompone en dos sumandos.
$\bigl|A^{t}\bigr| = |A|$ .

El apartado c) está construido por columnas a partir de las filas de

M

: ahí entra la traspuesta.

Desarrollo

a) El determinante de $5M^{4}$ . Dos propiedades encadenadas:

\bigl|5M^{4}\bigr| = 5^{3}\cdot\bigl|M^{4}\bigr| = 5^{3}\cdot|M|^{4} = 125\cdot 2^{4} = 125\cdot 16 = 2000

(El $5$ multiplica a las tres filas, de ahí el $5^{3}$ ; y $|M^{4}| = |M|^{4}$ por ser el determinante multiplicativo.)

b) La segunda matriz. Comparemos sus filas con las de

M

F_{1} = (2,\, 0,\, 1) = \frac{1}{3}\,(6,\, 0,\, 3) = \frac13\,F_{2}(M)

F_{2} = (1,\, 2,\, 3) = F_{1}(M), \qquad F_{3} = (x,\,y,\,z) = F_{3}(M)

Es decir: se han intercambiado las dos primeras filas de

M

y, además, una de ellas se ha dividido entre 3.

\left|\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ x & y & z\end{array}\right| = \frac13\left|\begin{array}{ccc} 6 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ x & y & z\end{array}\right| = \frac13\cdot\bigl(-|M|\bigr) = -\frac{2}{3}

c) La tercera matriz. Fijémonos en las columnas:

C_{2} = \begin{pmatrix} x+6 \\ y \\ z+3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix} = C_{3} + \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}

Por la linealidad respecto de una columna, el determinante se parte en dos:

\left|\begin{array}{ccc} 1 & x+6 & x \\ 2 & y & y \\ 3 & z+3 & z\end{array}\right| = \underbrace{\left|\begin{array}{ccc} 1 & x & x \\ 2 & y & y \\ 3 & z & z\end{array}\right|}_{= \, 0 \ (\text{dos columnas iguales})} + \left|\begin{array}{ccc} 1 & 6 & x \\ 2 & 0 & y \\ 3 & 3 & z\end{array}\right|

El segundo determinante tiene por columnas las filas de

M

: es exactamente

\bigl|M^{t}\bigr|

= 0 + \bigl|M^{t}\bigr| = |M| = 2

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Consejo

$\bigl|5M^{4}\bigr| \neq 5\,|M|^{4}$ . El escalar multiplica a las tres filas, así que sale como $5^{3}$ . Es la propiedad más olvidada del tema y aquí cambia el resultado de $32$ a $2000$ .

En b), hay que detectar dos manipulaciones: el factor $\tfrac13$ en una fila y el intercambio de filas, que cambia el signo. Quedarse con una sola da $+\tfrac23$ o $-2$ , ambos incorrectos.

En c), la propiedad clave es que si una columna es suma de dos, el determinante se descompone; y un determinante con dos columnas iguales vale $0$ . Ese sumando desaparece y queda justo la traspuesta de $M$ . El enunciado dice "indica las propiedades que utilices": aquí el razonamiento es la respuesta.