Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2019 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. [2,5 puntos] Calcula todas las matrices

X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}

tales que

a + d = 1

, tienen determinante

1

y cumplen

A\,X = X\,A

, siendo

A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \phantom{-}0\end{pmatrix}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A X = X A \;\Longleftrightarrow\; d = a \;\text{ y }\; b = -c \;\Longrightarrow\; X = \begin{pmatrix} a & -c \\ c & a\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;a + d = 1 \Rightarrow a = d = \tfrac12; \qquad |X| = \tfrac14 + c^{2} = 1 \Rightarrow c = \pm\tfrac{\sqrt3}{2}\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} \tfrac12 & \mp\tfrac{\sqrt3}{2} \\[3pt] \pm\tfrac{\sqrt3}{2} & \tfrac12\end{pmatrix} \quad (\text{dos matrices})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay tres condiciones y cuatro incógnitas, pero la condición matricial

AX = XA

vale por dos: al desarrollar los dos productos e igualar entrada a entrada salen dos relaciones independientes (

d = a

b = -c

).

Con eso, la matriz queda con solo dos parámetros libres, y las otras dos condiciones (

a+d=1

|X|=1

) los determinan. La del determinante conduce a una ecuación de segundo grado, así que habrá dos soluciones.

Desarrollo

Los dos productos.

A\,X = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \phantom{-}0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -c & -d \\ \phantom{-}a & \phantom{-}b\end{pmatrix}

X\,A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \phantom{-}0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b & -a \\ d & -c\end{pmatrix}

Igualando entrada a entrada.

\begin{cases} -c = b \\ -d = -a \\ \phantom{-}a = d \\ \phantom{-}b = -c\end{cases} \;\Longrightarrow\; \boxed{d = a} \quad \text{y} \quad \boxed{b = -c}

(La primera y la cuarta son la misma condición; la segunda y la tercera, también.)

Así que

X

tiene necesariamente la forma

X = \begin{pmatrix} a & -c \\ c & \phantom{-}a\end{pmatrix}

Condición de la traza.

a + d = 1 \;\Longrightarrow\; a + a = 1 \;\Longrightarrow\; a = \frac{1}{2} \quad (\text{y } d = \tfrac12)

Condición del determinante.

|X| = a\,d - b\,c = \frac{1}{4} - (-c)\,c = \frac{1}{4} + c^{2} = 1

c^{2} = \frac{3}{4} \;\Longrightarrow\; c = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}

Las dos soluciones.

X_{1} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt3}{2} \\[6pt] \dfrac{\sqrt3}{2} & \dfrac{1}{2}\end{pmatrix} \qquad\qquad X_{2} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt3}{2} \\[6pt] -\dfrac{\sqrt3}{2} & \dfrac{1}{2}\end{pmatrix}

Comprobación con $X_{1}$ .

A\,X_{1} = \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \\[4pt] \frac12 & -\frac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix} = X_{1}A \quad \checkmark

a + d = \tfrac12 + \tfrac12 = 1 \;\checkmark \qquad |X_{1}| = \tfrac14 + \tfrac34 = 1 \;\checkmark

(Detalle bonito: $A$ es la matriz de un giro de $90^{\circ}$ y las soluciones son las de un giro de $\pm 60^{\circ}$ ; por eso conmutan, porque dos giros del plano siempre conmutan entre sí.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Una igualdad de matrices $2\times 2$ son cuatro ecuaciones escalares, aunque aquí se reduzcan a dos por repetirse. Escríbelas todas y luego simplifica: intentar "ver" la relación sin desarrollar los productos es arriesgado, porque $AX \neq XA$ en general.

Ojo al determinante: $|X| = ad - bc$ , y con $b = -c$ queda $ad - (-c)c = ad + c^{2}$ . Ese cambio de signo es lo que hace que la ecuación tenga solución real; si te equivocas y escribes $ad - c^{2} = 1$ , concluirás $c^{2} = -3/4$ y dirás que no hay ninguna matriz.

Y responde con las dos matrices. El enunciado dice "calcula todas": dejar solo una pierde parte de la puntuación.