Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Determinantes

Andalucía · 2022 · Julio

Enunciado

Ejercicio 6 (bloque B). Se sabe que

\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{array}\right| = -2

a) [1 punto] Calcula:

\;\left|\begin{array}{ccc} a & c & b \\ 2x & 2z & 2y \\ -3p & -3r & -3q \end{array}\right|

b) [1,5 puntos] Calcula:

\;\left|\begin{array}{ccc} x & a - 3p & -2a \\ y & b - 3q & -2b \\ z & c - 3r & -2c \end{array}\right|

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad D_{a} = -6\cdot(-1)\cdot\bigl|F_{1},F_{3},F_{2}\bigr| = 6\cdot 2 = 12\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad D_{b} = -2\cdot(-3)\cdot\bigl|F_{3},F_{2},F_{1}\bigr| = 6\cdot 2 = 12\;}

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Estrategia

Aquí no hay que calcular ningún determinante: hay que identificar las transformaciones que llevan del original al pedido y aplicar sus propiedades. Conviene nombrar las filas de la matriz de partida:

F_{1} = (a,b,c), \qquad F_{2} = (p,q,r), \qquad F_{3} = (x,y,z), \qquad \bigl|F_{1},F_{2},F_{3}\bigr| = -2

Las tres propiedades que se usan son:

Intercambiar dos filas (o dos columnas) cambia el signo.
Multiplicar una fila (o columna) por $k$ multiplica el determinante por $k$ .
El determinante no cambia al trasponer, y una fila que es suma de dos se descompone por linealidad.

En b) las columnas son las que llevan la información, así que lo más cómodo es trasponer primero y trabajar con filas, como en a).

Desarrollo

a) El determinante pedido es

D_{a} = \left|\begin{array}{ccc} a & c & b \\ 2x & 2z & 2y \\ -3p & -3r & -3q \end{array}\right|

Paso 1: sacar los factores de las filas segunda y tercera.

D_{a} = 2\cdot(-3)\left|\begin{array}{ccc} a & c & b \\ x & z & y \\ p & r & q \end{array}\right| = -6\left|\begin{array}{ccc} a & c & b \\ x & z & y \\ p & r & q \end{array}\right|

Paso 2: deshacer el intercambio de columnas. En las tres filas, las columnas segunda y tercera están cambiadas respecto del orden original

(a,b,c)

(x,y,z)

(p,q,r)

. Intercambiarlas de nuevo cambia el signo:

D_{a} = -6\cdot(-1)\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ x & y & z \\ p & q & r \end{array}\right| = 6\,\bigl|F_{1},\, F_{3},\, F_{2}\bigr|

Paso 3: deshacer el intercambio de filas.

\bigl|F_{1},F_{3},F_{2}\bigr|

se obtiene del original intercambiando las filas segunda y tercera, luego vale

-(-2) = 2

D_{a} = 6 \cdot 2 = 12

b) El determinante pedido es

D_{b} = \left|\begin{array}{ccc} x & a-3p & -2a \\ y & b-3q & -2b \\ z & c-3r & -2c \end{array}\right|

Paso 1: trasponer (no cambia el valor). Las columnas pasan a ser filas:

D_{b} = \left|\begin{array}{c} F_{3} \\ F_{1} - 3F_{2} \\ -2F_{1} \end{array}\right|

Paso 2: sacar el factor $-2$ de la tercera fila.

D_{b} = -2\left|\begin{array}{c} F_{3} \\ F_{1} - 3F_{2} \\ F_{1} \end{array}\right|

Paso 3: descomponer por linealidad la segunda fila.

\left|\begin{array}{c} F_{3} \\ F_{1} - 3F_{2} \\ F_{1} \end{array}\right| = \underbrace{\left|\begin{array}{c} F_{3} \\ F_{1} \\ F_{1} \end{array}\right|}_{\text{dos filas iguales } = 0} \;-\; 3\left|\begin{array}{c} F_{3} \\ F_{2} \\ F_{1} \end{array}\right| = -3\,\bigl|F_{3}, F_{2}, F_{1}\bigr|

Paso 4: reordenar.

\bigl|F_{3},F_{2},F_{1}\bigr|

se obtiene intercambiando las filas primera y tercera del original, luego vale

-(-2) = 2

D_{b} = -2\cdot\bigl(-3\cdot 2\bigr) = -2\cdot(-6) = 12

Comprobación con un caso concreto. Tomando una matriz cualquiera de determinante

-2

, por ejemplo

\begin{pmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

los dos determinantes pedidos valen

\left|\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{array}\right| = 12 \qquad \text{y} \qquad \left|\begin{array}{ccc} 0 & -2 & 4 \\ 0 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right| = 12

confirmando ambos resultados.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Trabaja paso a paso y por escrito, sacando un factor o deshaciendo un intercambio cada vez. Intentar contarlo todo de golpe ("hay dos cambios y dos factores") es la receta para perder un signo, y en este ejercicio los puntos se dan por justificar cada propiedad, no por acertar el número.

En b), trasponer al principio te ahorra tener que razonar por columnas: la propiedad $|M^{t}| = |M|$ es gratis y convierte el problema en el mismo tipo que a). Y recuerda que una fila que es suma se descompone por linealidad, mientras que un múltiplo sale como factor: son dos propiedades distintas y mezclarlas es el error más común.