Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Determinantes

Andalucía · 2019 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{pmatrix}

de la que se sabe que tiene determinante

5

.

a) [1,75 puntos] Calcula, indicando las propiedades que utilices, los determinantes de las matrices siguientes:

3A \qquad \text{y} \qquad \begin{pmatrix} 2a & d+3a & g \\ 2b & e+3b & h \\ 2c & f+3c & i\end{pmatrix}

b) [0,75 puntos] Si

B

es otra matriz cuadrada de orden

3

y tiene determinante

4

, calcula, indicando también las propiedades que utilices, el determinante de la matriz

B\,A^{-1}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a.1)}\quad |3A| = 3^{3}|A| = 27\cdot 5 = 135\;}

\boxed{\;\text{a.2)}\quad |M| = 2\,\bigl|A^{t}\bigr| = 2\,|A| = 10 \quad (\text{el } {+}3a \text{ de la segunda columna no altera nada})\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \bigl|BA^{-1}\bigr| = |B|\cdot\frac{1}{|A|} = \frac{4}{5}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Ejercicio puramente teórico: no hay que calcular ningún determinante, sino aplicar propiedades. Las que hacen falta son:

$|k\,A| = k^{n}|A|$ (el escalar sale elevado al orden, porque multiplica a las $n$ filas).
Multiplicar una sola línea por $k$ multiplica el determinante por $k$ .
Sumar a una línea un múltiplo de otra no cambia el determinante.
$|A^{t}| = |A|$ .
$|MN| = |M|\,|N|$ y, en consecuencia, $|A^{-1}| = \dfrac{1}{|A|}$ .

La segunda matriz del apartado a) está construida por columnas a partir de las filas de

A

: ahí es donde entra la propiedad de la traspuesta.

Desarrollo

a.1) El determinante de $3A$ . El escalar multiplica a las tres filas de una matriz de orden

3

|3A| = 3^{3}\,|A| = 27\cdot 5 = 135

(Propiedad: $|kA| = k^{n}|A|$ . El error clásico es escribir $3\cdot 5 = 15$ .)

a.2) La segunda matriz. Llamemos

M

a esa matriz y observemos cómo están hechas sus columnas:

C_{1}(M) = 2\,(a,b,c), \qquad C_{2}(M) = (d,e,f) + 3\,(a,b,c), \qquad C_{3}(M) = (g,h,i)

Es decir, sus columnas son las filas de $A$ (las de

A^{t}

, por tanto sus columnas), con dos manipulaciones.

Paso 1: sacar el factor $2$ de la primera columna.

|M| = 2\cdot\left|\begin{array}{ccc} a & d+3a & g \\ b & e+3b & h \\ c & f+3c & i\end{array}\right|

Paso 2: la segunda columna es "ella misma más 3 veces la primera". Sumar a una línea un múltiplo de otra no altera el determinante:

|M| = 2\cdot\left|\begin{array}{ccc} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i\end{array}\right| = 2\,\bigl|A^{t}\bigr|

Paso 3: la traspuesta tiene el mismo determinante.

|M| = 2\,|A| = 2\cdot 5 = 10

b) El determinante de $B\,A^{-1}$ .

\bigl|B\,A^{-1}\bigr| = |B|\cdot\bigl|A^{-1}\bigr| = |B|\cdot\frac{1}{|A|} = \frac{4}{5} = 0{,}8

(La segunda igualdad sale de $A\,A^{-1} = I$ : tomando determinantes, $|A|\,|A^{-1}| = |I| = 1$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$|3A| \neq 3|A|$ . El escalar multiplica todas las filas, así que sale elevado al orden de la matriz: $|3A| = 27|A|$ para una $3\times 3$ . Es la propiedad más olvidada del tema.

Analiza la segunda matriz columna a columna: el $2$ afecta a una sola columna (sale como factor simple, no al cubo) y el $+3a$ es una combinación lineal que no cambia nada. Y como sus columnas son las filas de $A$ , aparece la traspuesta, que tiene el mismo determinante.

El enunciado dice "indicando las propiedades que utilices": aquí el razonamiento es la respuesta. Un número suelto sin justificación no puntúa, aunque sea correcto.