Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2014 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\left.\begin{array}{r} x+2y-3z = 3 \\ 2x+3y+\phantom{3}z = 5\end{array}\right\}

a) [1,5 puntos] Calcula

\alpha

de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma

\alpha x+y-7z = 1

el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el original.

b) [1 punto] Calcula las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea

4

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Solución general: } (x,y,z) = (1-11t,\; 1+7t,\; t)\;}

\boxed{\;\text{a) } \alpha(1-11t)+(1+7t)-7t = 1 \ \forall t \;\Longrightarrow\; \alpha(1-11t) = 0 \;\Longrightarrow\; \alpha = 0\;}

\boxed{\;\text{b) } x+y+z = 2-3t = 4 \;\Longrightarrow\; t = -\tfrac23\;}

\boxed{\;(x,y,z) = \left(\tfrac{25}{3},\, -\tfrac{11}{3},\, -\tfrac23\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El sistema de partida tiene dos ecuaciones y tres incógnitas: es compatible indeterminado con un parámetro. Lo primero es resolverlo, dejando las soluciones en función de

z

a) "Las mismas soluciones" significa que la tercera ecuación no aporta nada: debe cumplirse para toda la familia de soluciones. Se sustituye la solución general y se impone que la identidad valga para todo valor del parámetro.
b) Se impone $x+y+z = 4$ sobre la solución general: una ecuación en el parámetro.

Desarrollo

Resolvemos el sistema. Tomando

z

como parámetro:

\begin{cases} x+2y = 3+3z \\ 2x+3y = 5-z\end{cases}

Multiplicando la primera por

2

y restando la segunda:

\bigl(2x+4y\bigr)-\bigl(2x+3y\bigr) = \bigl(6+6z\bigr)-\bigl(5-z\bigr) \;\Longrightarrow\; y = 1+7z

Y de la primera:

x = 3+3z-2\,(1+7z) = 3+3z-2-14z = 1-11z

\textbf{Solución general: } (x,\,y,\,z) = \bigl(1-11t,\; 1+7t,\; t\bigr), \quad t\in\mathbb{R}

(Comprobación en la segunda: $\;2(1-11t)+3(1+7t)+t = 2-22t+3+21t+t = 5$ $\checkmark$ )

a) La tercera ecuación no debe restringir nada. Sustituyendo la solución general en

\alpha x+y-7z = 1

\alpha\,(1-11t)+(1+7t)-7t = 1

\alpha-11\alpha t+1 = 1 \;\Longrightarrow\; \alpha\,(1-11t) = 0

Esto debe cumplirse para todo $t$ , y

1-11t

no es idénticamente nulo. Por tanto

\alpha = 0

Comprobación. Con

\alpha=0

la tercera ecuación es

y-7z = 1

, y en efecto

(1+7t)-7t = 1 \quad \checkmark \ \text{para todo } t

(Es combinación de las dos primeras: $\;E_{2}-2E_{1}$ da $-y+7z = -1$ , es decir, $y-7z = 1$ .)

b) Suma de las incógnitas igual a $4$ .

x+y+z = (1-11t)+(1+7t)+t = 2-3t = 4 \;\Longrightarrow\; -3t = 2 \;\Longrightarrow\; t = -\frac23

La solución.

x = 1-11\left(-\frac23\right) = 1+\frac{22}{3} = \frac{25}{3}

y = 1+7\left(-\frac23\right) = 1-\frac{14}{3} = -\frac{11}{3}

z = -\frac23

(x,\,y,\,z) = \left(\frac{25}{3},\; -\frac{11}{3},\; -\frac{2}{3}\right)

Comprobación.

\;\frac{25}{3}-\frac{11}{3}-\frac23 = \frac{12}{3} = 4

\;\checkmark

\;\frac{25}{3}-\frac{22}{3}+2 = 1+2 = 3

\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Que tenga las mismas soluciones" $\Rightarrow$ la nueva ecuación debe ser combinación lineal de las anteriores, o equivalentemente, cumplirse para toda la familia de soluciones. Imponer que la identidad valga para todo $t$ es la traducción directa de esa idea.

Resuelve el sistema primero. Con la solución general en la mano, los dos apartados son una sustitución cada uno; sin ella, hay que pelearse con rangos y menores.

Comprueba siempre la solución final en todas las ecuaciones y en la condición añadida. Aquí las fracciones invitan al error aritmético.