Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Determinantes

Andalucía · 2021 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 6 (bloque B). Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}

con determinante igual a

2

.

a) [0,5 puntos] Calcula razonadamente

\left|\dfrac{1}{3}A^{-1}A^{t}\right|

.

b) [2 puntos] Calcula razonadamente los determinantes

\left|\begin{array}{ccc} 6c & 2b & 2a \\ 3f & e & d \\ 9 & 2 & 1 \end{array}\right| \qquad \text{y} \qquad \left|\begin{array}{ccc} 2a - 2b & c & b \\ 2d - 2e & f & e \\ -2 & 3 & 2 \end{array}\right|

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \left|\tfrac{1}{3}A^{-1}A^{t}\right| = \frac{1}{27}\cdot\frac{1}{|A|}\cdot|A| = \frac{1}{27}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad D_{1} = 6\,\bigl|C_{3},C_{2},C_{1}\bigr| = -12; \qquad D_{2} = 2\,\bigl|C_{1},C_{3},C_{2}\bigr| = -4\;}

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Estrategia

Todo el ejercicio se resuelve sin calcular ningún determinante, aplicando propiedades. Conviene tener a mano las cuatro que hacen falta:

$\bigl|A^{-1}\bigr| = \dfrac{1}{|A|}$ y $\bigl|A^{t}\bigr| = |A|$
$|k\,M| = k^{n}\,|M|$ para una matriz $n\times n$ (¡el $k$ va elevado al orden!)
Multiplicar una fila o columna por $k$ multiplica el determinante por $k$
Intercambiar dos filas o columnas cambia el signo, y una fila (o columna) que es suma se descompone por linealidad

En b), el primer determinante se ataca sacando factores de filas y luego deshaciendo el orden de las columnas; el segundo, trabajando por columnas, porque ahí es donde están las combinaciones.

Desarrollo

Llamemos a las columnas de

A

C_{1} = \begin{pmatrix} a \\ d \\ 1\end{pmatrix}, \qquad C_{2} = \begin{pmatrix} b \\ e \\ 2\end{pmatrix}, \qquad C_{3} = \begin{pmatrix} c \\ f \\ 3\end{pmatrix}, \qquad |A| = \bigl|C_{1}, C_{2}, C_{3}\bigr| = 2

a) Aplicando las propiedades una a una:

\left|\frac{1}{3}A^{-1}A^{t}\right| = \left(\frac{1}{3}\right)^{3}\bigl|A^{-1}A^{t}\bigr| = \frac{1}{27}\cdot\bigl|A^{-1}\bigr|\cdot\bigl|A^{t}\bigr| = \frac{1}{27}\cdot\frac{1}{|A|}\cdot|A|

= \frac{1}{27}\cdot\frac{1}{2}\cdot 2 = \frac{1}{27}

(Obsérvese que el valor $|A| = 2$ se cancela: el resultado sería $\frac{1}{27}$ para cualquier matriz invertible de orden $3$ .)

b) Primer determinante.

D_{1} = \left|\begin{array}{ccc} 6c & 2b & 2a \\ 3f & e & d \\ 9 & 2 & 1 \end{array}\right|

Paso 1: sacar factor común de la primera fila. Los tres elementos son

2\cdot(3c),\, 2b,\, 2a

, así que sacamos un

2

D_{1} = 2\left|\begin{array}{ccc} 3c & b & a \\ 3f & e & d \\ 9 & 2 & 1 \end{array}\right|

Paso 2: sacar factor común de la primera columna, que ahora es

(3c, 3f, 9) = 3\,(c, f, 3)

D_{1} = 2\cdot 3\left|\begin{array}{ccc} c & b & a \\ f & e & d \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right| = 6\,\bigl|C_{3},\, C_{2},\, C_{1}\bigr|

Paso 3: reordenar las columnas. Pasar de

(C_{1},C_{2},C_{3})

(C_{3},C_{2},C_{1})

es un solo intercambio (la primera con la tercera), luego cambia el signo:

\bigl|C_{3}, C_{2}, C_{1}\bigr| = -\bigl|C_{1}, C_{2}, C_{3}\bigr| = -2

D_{1} = 6\cdot(-2) = -12

Segundo determinante.

D_{2} = \left|\begin{array}{ccc} 2a - 2b & c & b \\ 2d - 2e & f & e \\ -2 & 3 & 2 \end{array}\right|

Mirando por columnas, y recordando que la tercera fila de

A

(1,2,3)

C_{1}' = \begin{pmatrix} 2a-2b \\ 2d-2e \\ -2 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} a-b \\ d-e \\ -1 \end{pmatrix} = 2\,\bigl(C_{1} - C_{2}\bigr), \qquad C_{2}' = C_{3}, \qquad C_{3}' = C_{2}

(La tercera componente confirma la identificación: $2\,(1 - 2) = -2\;\checkmark$ )

Paso 1: sacar el factor $2$ .

D_{2} = 2\,\bigl|C_{1} - C_{2},\; C_{3},\; C_{2}\bigr|

Paso 2: descomponer por linealidad la primera columna.

= 2\Bigl(\underbrace{\bigl|C_{1}, C_{3}, C_{2}\bigr|}_{} - \underbrace{\bigl|C_{2}, C_{3}, C_{2}\bigr|}_{\text{dos columnas iguales} \;=\; 0}\Bigr) = 2\,\bigl|C_{1}, C_{3}, C_{2}\bigr|

Paso 3: reordenar.

\bigl|C_{1},C_{3},C_{2}\bigr|

se obtiene intercambiando las columnas segunda y tercera, luego vale

-2

D_{2} = 2\cdot(-2) = -4

Comprobación con un caso concreto. Tomando una matriz cualquiera con tercera fila

(1,2,3)

y determinante

2

, por ejemplo

A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \qquad |A| = 2

los dos determinantes pedidos quedan

\left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & 0 \\ 9 & 2 & 1 \end{array}\right| = -12 \qquad \text{y} \qquad \left|\begin{array}{ccc} 4 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \\ -2 & 3 & 2 \end{array}\right| = -4

confirmando los dos resultados.

(El constructor de la simulación combina filas, así que se le da $A^{t}$ , cuyas filas son las columnas de $A$ : la primera fila de $D_{1}^{t}$ es $3\,C_{3}$ , la segunda $C_{2}$ y la tercera $C_{1}$ , y además la primera columna va multiplicada por $2$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El error número uno en el apartado a) es escribir $\left|\frac13 M\right| = \frac13 |M|$ . Para una matriz $3\times 3$ es $\left(\frac13\right)^{3} = \frac{1}{27}$ , porque el escalar multiplica a las tres filas. Sacar un factor de una sola fila sí da un $k$ simple; multiplicar toda la matriz da $k^{n}$ .

En b), identifica primero si las combinaciones están por filas o por columnas. En el segundo determinante cada columna es una combinación de columnas de $A$ ( $2C_{1} - 2C_{2}$ , $C_{3}$ y $C_{2}$ ), así que trabajar por columnas es lo natural; intentarlo por filas obliga a trasponer antes y es un rodeo.