Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2009 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -4 & 2\end{pmatrix}

a) [1 punto] Calcula, si existe, la matriz inversa de

A

.

b) [1,5 puntos] Calcula las matrices

X

Y

que satisfacen las ecuaciones matriciales

\;XA = A+2B\;

\;AY = A+2B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = -1; \qquad A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 7 \\ 1 & -3\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;A+2B = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -7 & 6\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;X = (A+2B)\,A^{-1} = \begin{pmatrix} -9 & 32 \\ 20 & -67\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;Y = A^{-1}(A+2B) = \begin{pmatrix} -59 & 40 \\ 26 & -17\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El ejercicio está diseñado para que compruebes que el producto de matrices no es conmutativo: aunque las dos ecuaciones tienen el mismo segundo miembro,

X

Y

son distintas.

XA = M \;\Longrightarrow\; X = M\,A^{-1} \qquad \text{(la inversa entra por la } \textbf{derecha})

AY = M \;\Longrightarrow\; Y = A^{-1}M \qquad \text{(la inversa entra por la } \textbf{izquierda})

Desarrollo

a) La inversa de $A$ .

\det A = 3\cdot2-7\cdot1 = 6-7 = -1 \neq 0

A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 7 \\ 1 & -3\end{pmatrix}

Comprobación:

A\,A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 7 \\ 1 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6+7 & 21-21 \\ -2+2 & 7-6\end{pmatrix} = I \;\checkmark

b) El segundo miembro.

2B = \begin{pmatrix} 2 & -6 \\ -8 & 4\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; M = A+2B = \begin{pmatrix} 3+2 & 7-6 \\ 1-8 & 2+4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -7 & 6\end{pmatrix}

La matriz $X$ (

A

está a la derecha, así que

A^{-1}

entra por la derecha):

X = M\,A^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -7 & 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 7 \\ 1 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10+1 & 35-3 \\ 14+6 & -49-18\end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} -9 & 32 \\ 20 & -67\end{pmatrix}

La matriz $Y$ (

A

está a la izquierda, así que

A^{-1}

entra por la izquierda):

Y = A^{-1}M = \begin{pmatrix} -2 & 7 \\ 1 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -7 & 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10-49 & -2+42 \\ 5+21 & 1-18\end{pmatrix}

Y = \begin{pmatrix} -59 & 40 \\ 26 & -17\end{pmatrix}

\textbf{X e Y son distintas: el producto de matrices no conmuta}

Comprobaciones.

XA = \begin{pmatrix} -9 & 32 \\ 20 & -67\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -27+32 & -63+64 \\ 60-67 & 140-134\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -7 & 6\end{pmatrix} \;\checkmark

AY = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -59 & 40 \\ 26 & -17\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -177+182 & 120-119 \\ -59+52 & 40-34\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -7 & 6\end{pmatrix} \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El punto del ejercicio es que $X \neq Y$ : la inversa entra por el lado opuesto a donde está $A$ . Si te salen iguales, has aplicado la misma regla dos veces.

Con $\det A = -1$ , la inversa sale entera: si te aparecen fracciones, revisa el determinante o el intercambio de la diagonal.

Comprueba las dos ecuaciones al final: $XA$ y $AY$ deben dar la misma matriz $A+2B$ . Es la verificación que cierra el ejercicio.