Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2010 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Sea la matriz

A = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1\end{pmatrix}

a) [1,25 puntos] Comprueba que se verifica

\;2A-A^{2} = I

.

b) [1,25 puntos] Calcula

A^{-1}

. (Sugerencia: puedes usar la igualdad del apartado (a)).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A^{2} = \begin{pmatrix} 9 & -8 & 4 \\ 4 & -3 & 2 \\ -8 & 8 & -3\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;2A-A^{2} = I \;\checkmark\;}

\boxed{\;2A-A^{2} = A\,(2I-A) = I \;\Longrightarrow\; A^{-1} = 2I-A\;}

\boxed{\;A^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 4 & -2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 4 & -4 & 3\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Cálculo directo: se obtiene $A^{2}$ y se resta de $2A$ .
b) La sugerencia es la clave. Sacando factor común $A$ por la izquierda en la igualdad de a):

2A-A^{2} = A\,(2I-A) = I

Y eso es la definición de inversa:

A^{-1} = 2I-A

Nada de determinantes ni adjuntas: la inversa sale de una resta.

Desarrollo

a) El cuadrado.

A^{2} = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1\end{pmatrix}

Primera fila:

\;25-8-8 = 9

;

\;-20+4+8 = -8

;

\;10-4-2 = 4

Segunda fila:

\;10-2-4 = 4

;

\;-8+1+4 = -3

;

\;4-1-1 = 2

Tercera fila:

\;-20+8+4 = -8

;

\;16-4-4 = 8

;

\;-8+4+1 = -3

A^{2} = \begin{pmatrix} 9 & -8 & 4 \\ 4 & -3 & 2 \\ -8 & 8 & -3\end{pmatrix}

La resta.

2A = \begin{pmatrix} 10 & -8 & 4 \\ 4 & -2 & 2 \\ -8 & 8 & -2\end{pmatrix}

2A-A^{2} = \begin{pmatrix} 10-9 & -8+8 & 4-4 \\ 4-4 & -2+3 & 2-2 \\ -8+8 & 8-8 & -2+3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = I \;\checkmark

b) La inversa. Sacamos factor común

A

en la igualdad de a) (recordando que

2A = A\cdot2I

2A-A^{2} = A\,(2I-A) = I

Por definición de matriz inversa:

A^{-1} = 2I-A

A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 4 & -2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 4 & -4 & 3\end{pmatrix}

Comprobación (primera fila de

A\,A^{-1}

5(-3)+(-4)(-2)+2\cdot4 = -15+8+8 = 1 \;\checkmark

5\cdot4+(-4)\cdot3+2\cdot(-4) = 20-12-8 = 0 \;\checkmark

5(-2)+(-4)(-1)+2\cdot3 = -10+4+6 = 0 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al sacar factor común, escribe $2A = A\cdot2I$ : el factor es $2I-A$ , con la identidad. " $2-A$ " no significa nada con matrices.

Que $A\,(2I-A) = I$ es la definición de inversa. No hace falta comprobar también $(2I-A)\,A = I$ : con matrices cuadradas una implica la otra.

La sugerencia del enunciado está para usarla. Calcular $A^{-1}$ con adjuntas y determinante daría lo mismo, pero con diez veces más operaciones y muchas más ocasiones de fallar.