Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2008 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. [2,5 puntos] Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ 2 & 1\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{pmatrix}

Calcula la matriz

P

que verifica

\;AP-B = C^{T}

(

C^{T}

es la matriz traspuesta de

C

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;P \text{ es de orden } 3\times2\;}

\boxed{\;AP = C^{T}+B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \\ 1 & 2\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; P = A^{-1}\bigl(C^{T}+B\bigr)\;}

\boxed{\;\det A = 1, \qquad A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;P = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -2 \\ 2 & 3\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Primero las dimensiones:

C

2\times3

, luego

C^{T}

3\times2

, igual que

B

. Y

A

3\times3

, así que

P \text{ es } 3\times2

Se despeja:

AP = C^{T}+B \;\Longrightarrow\; P = A^{-1}\bigl(C^{T}+B\bigr)

(la inversa entra por la izquierda, porque

A

está a la izquierda de

P

Desarrollo

El segundo miembro.

C^{T} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}

C^{T}+B = \begin{pmatrix} -2+1 & 1+0 \\ 0+0 & -1-1 \\ -1+2 & 1+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \\ 1 & 2\end{pmatrix}

El determinante de $A$ . Desarrollando por la segunda fila (dos ceros):

\det A = 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\end{vmatrix} = 2-1 = 1 \neq 0

La inversa. Los cofactores:

\begin{array}{lll} A_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 2\end{vmatrix} = 2 & A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2\end{vmatrix} = 0 & A_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2\end{vmatrix} = -1 \\[3mm] A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2\end{vmatrix} = 0 & A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\end{vmatrix} = 1 & A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\end{vmatrix} = -1 \\[3mm] A_{31} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0\end{vmatrix} = -1 & A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0\end{vmatrix} = 0 & A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{vmatrix} = 1\end{array}

Como

\det A = 1

, la inversa es directamente la adjunta traspuesta:

A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1\end{pmatrix}

El producto.

P = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \\ 1 & 2\end{pmatrix}

Fila 1:

\;\bigl(-2+0-1,\; 2+0-2\bigr) = (-3,\; 0)

Fila 2:

\;\bigl(0+0+0,\; 0-2+0\bigr) = (0,\; -2)

Fila 3:

\;\bigl(1+0+1,\; -1+2+2\bigr) = (2,\; 3)

P = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -2 \\ 2 & 3\end{pmatrix}

Comprobación.

AP = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -2 \\ 2 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3+0+2 & 0-2+3 \\ 0 & -2 \\ -3+0+4 & 0-4+6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \\ 1 & 2\end{pmatrix}

AP-B = \begin{pmatrix} -1-1 & 1-0 \\ 0-0 & -2+1 \\ 1-2 & 2-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix} = C^{T} \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Empieza por las dimensiones: $P$ es $3\times2$ , no cuadrada. Eso descarta de entrada plantear $P = (C^{T}+B)A^{-1}$ , que ni siquiera se podría multiplicar.

Desarrolla el determinante por la fila con más ceros (aquí la segunda): el cálculo se reduce a un solo menor $2\times2$ .

Con $\det A = 1$ la inversa es la adjunta traspuesta sin dividir, y sale entera. Si te aparecen fracciones, revisa el determinante.