Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2012 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones

\left.\begin{array}{rcl} \phantom{3}x+\phantom{(\lambda-1)}y+\phantom{2}z & = & \lambda+1 \\ \phantom{3x+(\lambda-1)}3y+2z & = & 2\lambda+3 \\ 3x+(\lambda-1)y+\phantom{2}z & = & \lambda\end{array}\right\}

a) [1 punto] Resuelve el sistema para

\lambda = 1

.

b) [1 punto] Halla los valores de

\lambda

para los que el sistema tiene una única solución.

c) [0,5 puntos] ¿Existe algún valor de

\lambda

para el que el sistema admite la solución

\left(-\dfrac12,\; 0,\; \dfrac12\right)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = 2-2\lambda = -2\,(\lambda-1)\;}

\boxed{\;\text{b) Solución única} \iff \lambda \neq 1\;}

\boxed{\;\text{a) } \lambda = 1 \ (F_{3} = 3F_{1}-F_{2}): \quad (x,y,z) = \left(\frac{1-t}{3},\; \frac{5-2t}{3},\; t\right)\;}

\boxed{\;\text{c) Las tres ecuaciones dan } \lambda = -1: \ \textbf{sí existe}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los tres apartados giran alrededor del determinante, que aquí sale de primer grado en

\lambda

: solo hay un valor crítico.

b) Solución única $\iff \det M \neq 0$ .
a) $\lambda = 1$ resulta ser justo el valor crítico, así que hay que comprobar rangos y dar la solución con un parámetro.
c) No hay que resolver nada: se sustituye la terna en las tres ecuaciones y se ve si existe un $\lambda$ que las satisfaga todas.

Desarrollo

La matriz de coeficientes.

M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 3 & \lambda-1 & 1\end{pmatrix}

El determinante. Desarrollando por la primera columna:

\det M = 1\bigl[3-2\,(\lambda-1)\bigr]+3\bigl[2-3\bigr] = \bigl(3-2\lambda+2\bigr)-3 = 2-2\lambda

\det M = -2\,(\lambda-1) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \lambda = 1

b) Solución única.

\det M \neq 0 \;\Longleftrightarrow\; \boxed{\lambda \neq 1}

a) El caso $\lambda = 1$ . El sistema queda

\begin{cases} \phantom{3}x+y+\phantom{2}z = 2 \\ \phantom{3x+y+}3y+2z = 5 \\ 3x\phantom{{}+0y}+\phantom{2}z = 1\end{cases}

(La tercera ecuación pierde el término en $y$ , porque $\lambda-1 = 0$ .)

Con

\det M = 0

hay que comprobar los rangos. Se verifica que

\;F_{3} = 3F_{1}-F_{2}

, también en el término independiente (

3\cdot2-5 = 1

\checkmark

), luego la tercera ecuación es redundante:

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

Resolviendo con las dos primeras y

z = t

3y = 5-2t \;\Longrightarrow\; y = \frac{5-2t}{3}

x = 2-y-t = 2-\frac{5-2t}{3}-t = \frac{6-5+2t-3t}{3} = \frac{1-t}{3}

(x,\,y,\,z) = \left(\frac{1-t}{3},\; \frac{5-2t}{3},\; t\right), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación con

t=1

(0,1,1)

;

\;0+1+1 = 2\;\checkmark

;

\;3+2 = 5\;\checkmark

;

\;0+1 = 1\;\checkmark

c) ¿Admite la solución $\left(-\frac12,0,\frac12\right)$ ? Sustituimos en cada ecuación:

Primera:

\;-\dfrac12+0+\dfrac12 = 0 = \lambda+1 \;\Longrightarrow\; \lambda = -1

Segunda:

\;0+2\cdot\dfrac12 = 1 = 2\lambda+3 \;\Longrightarrow\; \lambda = -1

Tercera:

\;3\left(-\dfrac12\right)+0+\dfrac12 = -1 = \lambda \;\Longrightarrow\; \lambda = -1

Las tres dan el mismo valor:

\lambda = -1

(Además $\lambda = -1 \neq 1$ , así que el sistema es compatible determinado y esa terna es su única solución.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En c) no resuelvas el sistema: sustituye la terna y comprueba si las tres ecuaciones dan el mismo $\lambda$ . Si dieran valores distintos, la respuesta sería "no existe".

El determinante es de primer grado en $\lambda$ , así que solo hay un valor crítico. Eso hace el apartado b) inmediato.

Con $\lambda=1$ , detectar $F_{3} = 3F_{1}-F_{2}$ incluido el término independiente demuestra la compatibilidad sin orlar menores y te dice qué ecuación descartar al resolver.