Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2023 · Julio

Enunciado

Ejercicio 5 (bloque B). Sea la matriz

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

I

la matriz identidad de orden

3

.

a) [1 punto] Halla los valores de

m

para que la matriz

A - mI

no tenga inversa.

b) [1,5 puntos] Halla

x

, distinto de cero, para que

A - xI

sea la inversa de la matriz

\dfrac{1}{x}(A - I)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A - mI| = m^{2}(3-m); \quad \text{no existe la inversa si } m = 0 \text{ o } m = 3\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad x = 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) es un determinante

3\times 3

con parámetro: se calcula, se factoriza y se iguala a cero.

En b) la tentación es calcular las dos matrices e igualar las nueve entradas del producto a la identidad. Funciona, pero es larguísimo. El atajo consiste en usar una propiedad que esta matriz cumple:

A^{2} = 3A

(porque cada entrada del producto es la suma de tres unos). Con ella, el producto de las dos matrices se desarrolla como un polinomio en

A

y todo se reduce a una ecuación de primer grado.

Desarrollo

a) El determinante.

A - mI = \begin{pmatrix} 1-m & 1 & 1 \\ 1 & 1-m & 1 \\ 1 & 1 & 1-m \end{pmatrix}

Sumamos las columnas segunda y tercera a la primera: los tres elementos de la primera columna pasan a valer

3 - m

, que se puede sacar como factor común:

|A - mI| = (3 - m)\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-m & 1 \\ 1 & 1 & 1-m \end{array}\right|

Ahora restamos la primera fila a las otras dos:

= (3-m)\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -m & 0 \\ 0 & 0 & -m \end{array}\right| = (3-m)\cdot 1 \cdot (-m)(-m) = m^{2}(3 - m)

|A - mI| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m^{2}(3-m) = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 0 \;\text{ (doble)} \;\text{ o }\; m = 3

Por tanto

A - mI

no tiene inversa para

m = 0

y para

m = 3

.

b) La propiedad clave. Cada entrada de

A^{2}

es el producto de una fila de unos por una columna de unos, es decir

1+1+1 = 3

A^{2} = 3A

Planteamiento. Que

A - xI

sea la inversa de

\frac{1}{x}(A-I)

significa

\bigl(A - xI\bigr)\cdot\frac{1}{x}\bigl(A - I\bigr) = I \;\Longleftrightarrow\; \bigl(A - xI\bigr)\bigl(A - I\bigr) = x\,I

Desarrollo del producto. Como

A

conmuta consigo misma y con

I

\bigl(A - xI\bigr)\bigl(A - I\bigr) = A^{2} - A - xA + xI

y sustituyendo

A^{2} = 3A

= 3A - A - xA + xI = (2 - x)A + xI

Ecuación. Igualando a

xI

(2 - x)A + xI = xI \;\Longrightarrow\; (2 - x)\,A = O

Como

A \neq O

, necesariamente

2 - x = 0

, es decir

x = 2

(Que además es distinto de cero, como pedía el enunciado. Y tiene sentido: para $x=2$ , $A - 2I$ es invertible, porque $m=2$ no está entre los valores del apartado a).)

Comprobación.

A - 2I = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{2}(A - I) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

\bigl(A - 2I\bigr)\cdot\frac{1}{2}\bigl(A - I\bigr) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = I \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b), antes de lanzarte a multiplicar matrices, busca la relación que cumple $A$ . Con una matriz de unos, $A^{2} = 3A$ (y en general, para la matriz $n\times n$ de unos, $A^{2} = nA$ ). Esa identidad convierte el producto en un polinomio en $A$ y el ejercicio en tres líneas.

Y no confundas los dos apartados: el a) da los valores para los que no hay inversa, el b) pide un $x$ para el que sí la hay y además vale una matriz concreta. Comprobar al final que $x=2$ no está entre $\{0, 3\}$ es una verificación gratis que da coherencia a la respuesta.