Sistemas de ecuaciones

a) Determinante. Sumando las columnas segunda y tercera a la primera, todos los elementos de esa columna pasan a valer $a+2$:$$|A| = \left|\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{array}\right| = (a+2)\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{array}\right|$$Restando la primera fila a las otras dos:$$= (a+2)\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a-1 & 0 \\ 0 & 0 & a-1 \end{array}\right| = (a+2)(a-1)^{2}$$$$|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; a = 1 \quad \text{o} \quad a = -2$$Caso 1: $a \neq 1$ y $a \neq -2$. $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 3$: sistema compatible determinado.

Caso 2: $a = 1$. Las tres ecuaciones se convierten en la misma:$$x + y + z = 1$$$$\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 1 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{compatible indeterminado} \text{ con dos parámetros}$$Caso 3: $a = -2$. El sistema queda$$\begin{cases} -2x + \phantom{2}y + \phantom{2}z = 1 \\ \phantom{-2}x - 2y + \phantom{2}z = -2 \\ \phantom{-2}x + \phantom{2}y - 2z = 4 \end{cases}$$Sumando las tres ecuaciones, el primer miembro se anula por completo:$$0 = 1 - 2 + 4 = 3 \quad \text{(absurdo)}$$Luego el sistema es incompatible.

(Formalmente: el menor $\left|\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right| = 3 \neq 0$ da $\operatorname{rg}(A) = 2$, mientras que en la ampliada el menor formado por las columnas de $x$, $y$ y los términos independientes vale $\left|\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & 4\end{array}\right| = 9 \neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A^{*}) = 3 \neq \operatorname{rg}(A)$.)

b) Las dos resoluciones.

Para $a = 1$: la única ecuación es $x+y+z = 1$, luego$$x = 1 - s - t, \qquad y = s, \qquad z = t, \qquad s, t \in \mathbb{R}$$Geométricamente, los tres planos coinciden y las soluciones son todos los puntos de ese plano.

Para $a = -2$: el sistema es incompatible, no tiene solución. Geométricamente, los tres planos forman un prisma: se cortan dos a dos pero no hay ningún punto común a los tres.