Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2018 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{cases} \phantom{2}x + 2y + \phantom{3}(m+3)z = 3 \\ \phantom{2}x + \phantom{2}y + \phantom{3(m+1)}z = 3m \\ 2x + 4y + 3(m+1)z = 8\end{cases}

a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro

m

.

b) [0,75 puntos] Resuelve el sistema para

m = -2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = 3 - m\;}

\boxed{\;m \neq 3: \text{ compatible determinado} \qquad\big|\qquad m = 3: \text{ incompatible}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad (x,y,z) = \left(-\tfrac{73}{5},\; 9,\; -\tfrac{2}{5}\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché–Frobenius. El determinante sale de primer grado en

m

(el parámetro solo aparece en la tercera columna, y el determinante es lineal respecto de cada columna), así que hay un único valor crítico. Eso simplifica mucho la discusión: un caso general y un caso especial.

Conviene además fijarse en la relación entre la primera y la tercera ecuación: los coeficientes de

x

y

de la tercera son el doble de los de la primera. Con el valor crítico, también lo será el de

z

, y entonces todo depende de si los términos independientes respetan esa proporción.

Desarrollo

Matrices.

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & m+3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 3m+3\end{pmatrix}, \qquad A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & m+3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 3m \\ 2 & 4 & 3m+3 & 8\end{array}\right)

a) Determinante. Desarrollando por la primera fila:

|A| = 1\bigl[(3m+3) - 4\bigr] - 2\bigl[(3m+3) - 2\bigr] + (m+3)\,\bigl[4 - 2\bigr]

= (3m - 1) - 2\,(3m + 1) + 2\,(m+3)

= 3m - 1 - 6m - 2 + 2m + 6 = -m + 3

|A| = 3 - m = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 3

Caso $m \neq 3$ .

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 3

: compatible determinado.

Caso $m = 3$ .

A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & \phantom{1}6 & 3 \\ 1 & 1 & \phantom{1}1 & 9 \\ 2 & 4 & 12 & 8\end{array}\right)

Ahora la tercera fila de

A

es el doble de la primera,

(2,4,12) = 2\,(1,2,6)

. Pero en los términos independientes eso no se cumple:

2\cdot 3 = 6 \neq 8

.

Con el menor

\left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right| = -1 \neq 0

se tiene

\operatorname{rg}(A) = 2

, y orlando con la columna de términos independientes:

\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 9 \\ 2 & 4 & 8\end{array}\right| = 1\,(8 - 36) - 2\,(8 - 18) + 3\,(4 - 2) = -28 + 20 + 6 = -2 \neq 0

\operatorname{rg}(A) = 2 < 3 = \operatorname{rg}(A^{*}) \;\Longrightarrow\; \textbf{incompatible}

(Se ve igual de bien restando: la tercera ecuación menos el doble de la primera da $0 = 2$ .)

b) Caso $m = -2$ . El determinante vale

3-(-2) = 5 \neq 0

: solución única. El sistema es

\begin{cases} \phantom{2}x + 2y + \phantom{3}z = \phantom{-}3 \\ \phantom{2}x + \phantom{2}y + \phantom{3}z = -6 \\ 2x + 4y - 3z = \phantom{-}8\end{cases}

Restando la segunda de la primera:

y = 9

Sustituyendo en la primera:

x + 18 + z = 3 \;\Longrightarrow\; x + z = -15

Y en la tercera:

2x + 36 - 3z = 8 \;\Longrightarrow\; 2x - 3z = -28

x = -15 - z

2\,(-15 - z) - 3z = -28 \;\Longrightarrow\; -30 - 5z = -28 \;\Longrightarrow\; z = -\frac{2}{5}

x = -15 + \frac25 = -\frac{73}{5}

(x, y, z) = \left(-\frac{73}{5},\; 9,\; -\frac{2}{5}\right)

Comprobación:

\;-\tfrac{73}{5} + 18 - \tfrac25 = -15 + 18 = 3\;\checkmark

;

\;-\tfrac{73}{5} + 9 - \tfrac25 = -15 + 9 = -6\;\checkmark

;

\;-\tfrac{146}{5} + 36 + \tfrac65 = -28 + 36 = 8\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que el determinante salga de primer grado no es un error: $m$ solo aparece en la tercera columna, y al desarrollar por ella cada término lleva un único elemento de esa columna. Si a ti te queda un $m^{2}$ , revisa el desarrollo; has multiplicado dos elementos de la misma columna.

Con un solo valor crítico, la discusión tiene dos casos. Pero sigue siendo obligatorio distinguir entre incompatible e indeterminado en el caso especial: aquí la tercera ecuación es el doble de la primera en los coeficientes pero no en el término independiente, y eso es exactamente lo que lo hace incompatible.

En b), aprovecha que las dos primeras ecuaciones se diferencian solo en la $y$ : restarlas despeja $y = 9$ de inmediato, sin necesidad de Cramer ni de Gauss completo.