Determinantes

a) Las filas del determinante pedido son$$F_{1} + F_{2}, \qquad F_{1}, \qquad 2F_{1} + F_{3}$$Paso 1: descomponemos la primera fila.$$\bigl|F_{1}+F_{2},\ F_{1},\ 2F_{1}+F_{3}\bigr| = \underbrace{\bigl|F_{1},\ F_{1},\ 2F_{1}+F_{3}\bigr|}_{\text{dos filas iguales} \;=\; 0} + \bigl|F_{2},\ F_{1},\ 2F_{1}+F_{3}\bigr|$$Paso 2: descomponemos la tercera fila del sumando que queda.$$\bigl|F_{2},\ F_{1},\ 2F_{1}+F_{3}\bigr| = \underbrace{2\bigl|F_{2},\ F_{1},\ F_{1}\bigr|}_{\text{dos filas iguales} \;=\; 0} + \bigl|F_{2},\ F_{1},\ F_{3}\bigr|$$Paso 3: reordenamos. $\bigl|F_{2}, F_{1}, F_{3}\bigr|$ se obtiene de $\bigl|F_{1}, F_{2}, F_{3}\bigr|$ intercambiando las dos primeras filas, lo que cambia el signo:$$\bigl|F_{2},\ F_{1},\ F_{3}\bigr| = -\bigl|F_{1},\ F_{2},\ F_{3}\bigr| = -1$$Por tanto el determinante del apartado a) vale $-1$.

b) Aquí conviene trasponer primero, porque el determinante no cambia:$$\left|\begin{array}{ccc} z & c & w \\ x & a & u \\ y & b & v \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} z & x & y \\ c & a & b \\ w & u & v \end{array}\right|$$Ahora se ve la estructura: cada fila es una fila de la matriz original con sus columnas desplazadas cíclicamente hacia la derecha ($F_{2} = (x,y,z) \to (z,x,y)$, $F_{1} = (a,b,c) \to (c,a,b)$, $F_{3} = (u,v,w) \to (w,u,v)$).

Efecto del desplazamiento cíclico de columnas: pasar de $(C_{1},C_{2},C_{3})$ a $(C_{3},C_{1},C_{2})$ son dos intercambios consecutivos, así que el signo cambia dos veces y el determinante queda igual.

Efecto del orden de las filas: quedan como $F_{2}, F_{1}, F_{3}$, es decir, un solo intercambio respecto del original, que cambia el signo.$$\left|\begin{array}{ccc} z & c & w \\ x & a & u \\ y & b & v \end{array}\right| = -\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ x & y & z \\ u & v & w \end{array}\right| = -1$$Comprobación con un caso concreto. Tomando la matriz identidad ($a=1$, $y=1$, $w=1$ y el resto $0$), cuyo determinante es $1$, los dos determinantes pedidos quedan$$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right| = -1 \qquad\qquad \left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right| = -1$$lo que confirma ambos resultados.