Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2022 · Julio

Enunciado

Ejercicio 5 (bloque B). Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & a & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}

a) [0,5 puntos] Determina los valores de

a

para los que la matriz

B

no tiene inversa.

b) [2 puntos] Para

a = 1

calcula

X

tal que

A\,X\,B = C

, si es posible.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |B| = 2a\,(2-a); \quad B \text{ no tiene inversa si } a = 0 \text{ o } a = 2\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad X = A^{-1}\,C\,B^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1 \\ -10 & 5 & 2 \end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En b) la incógnita está atrapada entre dos matrices, así que hay que despejar por los dos lados: multiplicar por

A^{-1}

por la izquierda y por

B^{-1}

por la derecha.

A\,X\,B = C \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}\,C\,B^{-1}

El orden importa y no se puede alterar. Conviene además vigilar las dimensiones:

A

2\times 2

B

3\times 3

C

2\times 3

, así que

X

tiene que ser

2\times 3

para que el producto

A\,X\,B

tenga sentido y dé una matriz

2\times 3

Desarrollo

a) Determinante de $B$ . Desarrollando por la primera fila:

|B| = 1\bigl(a\cdot 0 - 1\cdot 2\bigr) - 1\bigl(2\cdot 0 - 1\cdot 2\bigr) + a\bigl(2\cdot 2 - a\cdot 2\bigr)

= -2 + 2 + a\,(4 - 2a) = 4a - 2a^{2} = 2a\,(2 - a)

|B| = 0 \;\Longleftrightarrow\; a = 0 \quad \text{o} \quad a = 2

Para esos dos valores $B$ no tiene inversa.

b) Caso $a = 1$ .

B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}, \qquad |B| = 2\cdot 1\cdot(2-1) = 2 \neq 0

|A| = 1\cdot 1 - 0\cdot(-2) = 1 \neq 0

: las dos son invertibles y

X

existe y es única.

Inversa de $A$ . Para una matriz

2\times 2

la fórmula es directa:

A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

(Comprobación: $A\,A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\;\checkmark$ )

Inversa de $B$ . La adjunta traspuesta es

\operatorname{adj}(B)^{t} = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; B^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}

Primer producto.

A^{-1}C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 4 & -1 & -5 \end{pmatrix}

Segundo producto.

X = \bigl(A^{-1}C\bigr)B^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 4 & -1 & -5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -6 & 2 & 2 \\ -20 & 10 & 4 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1 \\ -10 & 5 & 2 \end{pmatrix}

(La primera entrada, por ejemplo: $\frac{1}{2}\bigl(1\cdot(-2) + 0\cdot 2 + (-2)\cdot 2\bigr) = \frac{-6}{2} = -3$ .)

Comprobación.

A\,X\,B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 & 1 & 1 \\ -10 & 5 & 2 \end{pmatrix}B = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1 \\ -4 & 3 & 0 \end{pmatrix}B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} = C \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con la incógnita en medio, $A\,X\,B = C$ , hay que despejar por los dos lados y por el lado correcto: $A^{-1}$ entra por la izquierda y $B^{-1}$ por la derecha, quedando $X = A^{-1}C\,B^{-1}$ . Escribir $X = B^{-1}C\,A^{-1}$ es un error de bulto: ni siquiera cuadran las dimensiones ( $3\times 3$ por $2\times 3$ no se puede multiplicar).

Usa precisamente eso como control: antes de calcular nada, comprueba que las dimensiones encajan. Aquí $X$ debe ser $2\times 3$ , y la única forma de obtenerla es $(2\times 2)\cdot(2\times 3)\cdot(3\times 3)$ .