Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2015 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. [2,5 puntos] Halla la matriz

X

que verifica la igualdad

A\,X\,A^{-1}+B = C\,A^{-1}

sabiendo que

A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & -3 & 0 \\ 1 & 4 & 1\end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B\,A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -5 & -3\end{pmatrix}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = -1 \neq 0; \qquad A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;A X A^{-1}+B = C A^{-1} \;\xrightarrow{\ \cdot A \text{ por la derecha}\ }\; A X+B A = C\;}

\boxed{\;X = A^{-1}(C-BA), \qquad C-BA = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -1 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 2\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 6 \\ 0 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & 4\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El enunciado da

BA

, no

B

. Eso es una pista clarísima: hay que manipular la ecuación hasta que aparezca el producto

BA

y no haga falta despejar

B

.

Multiplicando por la derecha por

A

(se puede, porque

\det A \neq 0

A\,X\,A^{-1}A+B\,A = C\,A^{-1}A \;\Longrightarrow\; A\,X+B\,A = C

A\,X = C-B\,A \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}\bigl(C-B\,A\bigr)

Solo hay que invertir

A

una vez.

Desarrollo

El determinante de $A$ . Desarrollando por la tercera columna (que solo tiene el

1

de abajo):

\det A = 1\cdot\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -3\end{vmatrix} = 0-1 = -1 \neq 0

A \text{ es invertible} \;\Longrightarrow\; \text{se puede despejar}

Despejando $X$ .

A\,X\,A^{-1}+B = C\,A^{-1}

Multiplicamos por la derecha por

A

A\,X+B\,A = C \;\Longrightarrow\; A\,X = C-B\,A \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}\bigl(C-B\,A\bigr)

La resta $C-BA$ .

C-B\,A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -5 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -1 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 2\end{pmatrix}

La inversa de $A$ . Con

\det A = -1

A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}

(Comprobación rápida: $A\,A^{-1} = I$ .)

El producto final.

X = A^{-1}\bigl(C-B\,A\bigr) = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -1 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 2\end{pmatrix}

Fila a fila:

F_{1}: \ (0+1+0,\; -6+1+0,\; 6+0+0) = (1,\, -5,\, 6)

F_{2}: \ (0,\; 2,\; -2)

F_{3}: \ (0-1+2,\; -2-1+5,\; 2+0+2) = (1,\, 2,\, 4)

X = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 6 \\ 0 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & 4\end{pmatrix}

Comprobación.

\;A\,X = C-B\,A

, es decir,

A\,X+B\,A = C

, que multiplicado por

A^{-1}

por la derecha devuelve la ecuación original

\;\checkmark

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Consejo

Que el enunciado te dé $BA$ y no $B$ es la pista del ejercicio: significa que la manipulación correcta hace aparecer ese producto entero. Multiplicar por $A$ por la derecha es lo que lo consigue.

El orden al multiplicar es crítico: $A^{-1}A = I$ solo si están juntos y en ese orden. Escribe cada paso multiplicando los dos miembros por el mismo lado, o acabarás con una ecuación distinta.

Calcula $A^{-1}$ una sola vez y comprueba que $A\,A^{-1} = I$ antes de seguir: si la inversa está mal, todo el resto del ejercicio lo estará también.