Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2010 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. [2,5 puntos] Sean las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2\end{pmatrix}

Calcula la matriz

X

que cumpla la ecuación

\;AXB = C

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;AXB = C \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}\,C\,B^{-1} \quad (X \text{ es } 2\times3)\;}

\boxed{\;\det A = 1: \ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}; \qquad \det B = -1: \ B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;A^{-1}C = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 0\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 3 & -4 & -2\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Con

X

entre dos matrices, hay que despejar por los dos lados:

AXB = C \;\Longrightarrow\; A^{-1}\,(AXB)\,B^{-1} = A^{-1}C\,B^{-1} \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}\,C\,B^{-1}

Las dimensiones cuadran:

A^{-1}

2\times2

C

2\times3

B^{-1}

3\times3

, luego

X

2\times3

.

Ambas inversas existen:

\det A = 1

\det B = -1

Desarrollo

La inversa de $A$ .

\det A = 1\cdot1-0\cdot(-1) = 1

A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}

(Comprobación: $\;A\,A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1+1 & 1\end{pmatrix} = I$ $\checkmark$ )

La inversa de $B$ . Desarrollando por la primera fila:

\det B = 1\cdot\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 2\end{vmatrix} = -2+1 = -1

Los cofactores:

\begin{array}{lll} B_{11} = -1 & B_{12} = 0 & B_{13} = 0 \\[1mm] B_{21} = 0 & B_{22} = 2 & B_{23} = -1 \\[1mm] B_{31} = 0 & B_{32} = 1 & B_{33} = -1\end{array}

B^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}

(Comprobación, segunda fila de $B\,B^{-1}$ : $\;(0,-1,-1)$ por las columnas da $(0,\,2-1,\,1-1) = (0,1,0)$ $\checkmark$ )

Primero $A^{-1}C$ .

A^{-1}C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 0\end{pmatrix}

Y ahora por $B^{-1}$ .

X = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}

Fila 1:

\;(3,\; -2+2,\; -1+2) = (3,\; 0,\; 1)

Fila 2:

\;(3,\; -4+0,\; -2+0) = (3,\; -4,\; -2)

X = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 3 & -4 & -2\end{pmatrix}

Comprobación.

AX = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 3 & -4 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & -4 & -3\end{pmatrix}

(AX)\,B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & -4 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2\end{pmatrix} = C \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con $X$ en medio, cada inversa entra por su lado: $A^{-1}$ por la izquierda y $B^{-1}$ por la derecha. El orden $X = A^{-1}CB^{-1}$ no se puede alterar.

Comprueba las dimensiones antes de operar: $2\times2$ por $2\times3$ por $3\times3$ da $2\times3$ . Si no cuadran, has puesto una inversa en el lado equivocado.

Cuando el determinante vale $\pm1$ , la inversa sale entera. Aquí las dos lo son, así que el resultado final no debería tener ni una fracción.