Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Determinantes

Andalucía · 2010 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. [2,5 puntos] Obtén un vector no nulo

v = (a,b,c)

de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango 2.

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & 0 & b \\ 1 & 1 & c\end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & a \\ 0 & -1 & b \\ 3 & 1 & c\end{pmatrix}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = a-c \;\Longrightarrow\; a = c\;}

\boxed{\;\det B = 3a-2b-2c \;\Longrightarrow\; 3a-2b-2c = 0\;}

\boxed{\;\text{Con } c = a: \ a-2b = 0 \Rightarrow b = \tfrac a2 \;\Longrightarrow\; v = \left(a,\tfrac a2,a\right), \ a\neq0\;}

\boxed{\;\text{Por ejemplo } v = (2,\,1,\,2), \ \text{con } \operatorname{rg}A = \operatorname{rg}B = 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Rango

2

en una matriz

3\times3

significa dos cosas:

$\det = 0$ (para que el rango no sea $3$ ),
algún menor de orden $2$ no nulo (para que no baje a $1$ ).

La segunda parte está garantizada en ambas matrices: las dos primeras columnas ya contienen menores

2\times2

no nulos independientes de

a

b

c

.

Así que basta resolver el sistema

\;\det A = 0

\;\det B = 0

, que es homogéneo en

(a,b,c)

: hay infinitas soluciones y elegimos la más cómoda.

Desarrollo

El determinante de $A$ . Desarrollando por la primera fila:

\det A = 1\,(0\cdot c-b\cdot1)-1\,(1\cdot c-b\cdot1)+a\,(1\cdot1-0\cdot1)

= -b-c+b+a = a-c

\det A = 0 \;\Longleftrightarrow\; a = c

El determinante de $B$ . Desarrollando por la primera fila:

\det B = 2\,\bigl[(-1)c-b\cdot1\bigr]-0+a\,\bigl[0\cdot1-(-1)\cdot3\bigr]

= 2\,(-c-b)+3a = 3a-2b-2c

\det B = 0 \;\Longleftrightarrow\; 3a-2b-2c = 0

El sistema. Sustituyendo

c = a

en la segunda:

3a-2b-2a = a-2b = 0 \;\Longrightarrow\; b = \frac{a}{2}

\bigl(a,\,b,\,c\bigr) = \left(a,\; \frac a2,\; a\right), \qquad a\neq0

Elegimos $a = 2$ para evitar fracciones:

v = (2,\; 1,\; 2)

Comprobaciones.

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix}

\det A = 2-2 = 0

, y el menor

\;\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0\end{vmatrix} = -1 \neq 0

\operatorname{rg}A = 2 \;\checkmark \qquad (F_{3} = F_{1})

B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 2\end{pmatrix}

\det B = 3\cdot2-2\cdot1-2\cdot2 = 6-2-4 = 0

, y el menor

\;\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1\end{vmatrix} = -2 \neq 0

\operatorname{rg}B = 2 \;\checkmark

(Nota: cualquier múltiplo de $(2,1,2)$ vale igual; la respuesta no es única.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Rango $2$ no es solo "determinante cero": hay que exhibir un menor de orden 2 no nulo para descartar que el rango baje a $1$ . Aquí las dos primeras columnas lo garantizan siempre.

El sistema en $(a,b,c)$ es homogéneo: tiene infinitas soluciones proporcionales. Elige el representante más limpio (aquí $a=2$ evita la fracción $b = \frac12$ ).

Fíjate en que en $A$ las filas primera y tercera solo se diferencian en la última entrada: por eso el determinante sale tan simple ( $a-c$ ) y la condición es $a=c$ .