Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2012 · Reserva 6 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Un estudiante ha gastado

57

euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos.

a) [1,25 puntos] ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora? Razona las respuestas.

b) [1,25 puntos] Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un

50\,\%

, un

20\,\%

y un

25\,\%

de descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de

34

euros. Calcula el precio de cada artículo.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;L+C+E = 57, \quad L = 2\,(C+E) \;\Longrightarrow\; 3\,(C+E) = 57 \;\Longrightarrow\; C+E = 19\;}

\boxed{\;\text{a) } L = 38 \ \text{(único)}; \quad C \text{ no queda determinado (solo } C+E = 19)\;}

\boxed{\;\text{b) } 0{,}5L+0{,}8C+0{,}75E = 34 \;\Longrightarrow\; 0{,}8C+0{,}75\,(19-C) = 15\;}

\boxed{\;C = 15, \quad E = 4, \quad L = 38 \quad (\text{euros})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres incógnitas y solo dos condiciones en a): el sistema es indeterminado. Pero eso no impide que alguna incógnita quede fijada: la gracia del apartado es distinguir qué se puede determinar y qué no.

En b) se añade una tercera ecuación (los precios rebajados) y el sistema pasa a ser compatible determinado.

Los descuentos se traducen en factores: con un

50\,\%

de descuento se paga el

0{,}5

del precio; con un

20\,\%

, el

0{,}8

; con un

25\,\%

, el

0{,}75

Desarrollo

Incógnitas.

L

= precio del libro,

C

= de la calculadora,

E

= del estuche (en euros).

a) Las dos condiciones.

\begin{cases} L+C+E = 57 \\ L = 2\,(C+E)\end{cases}

Sustituyendo la segunda en la primera, con

C+E = S

2S+S = 3S = 57 \;\Longrightarrow\; S = 19 \;\Longrightarrow\; L = 38

\textbf{El libro cuesta } 38 \ \text{euros (queda determinado de forma única)}

Sin embargo, de

C+E = 19

solo se deduce la suma: hay infinitas parejas posibles (

C = 19-E

con

0<E<19

\textbf{El precio de la calculadora NO queda determinado}

(En términos de Rouché-Frobenius: dos ecuaciones y tres incógnitas dan un sistema compatible indeterminado con un parámetro; lo notable es que, aun así, la incógnita $L$ sí queda fijada.)

b) La tercera condición. Con los descuentos, se paga

0{,}5\,L+0{,}8\,C+0{,}75\,E = 34

Con

L = 38

\;0{,}5\cdot38 = 19

, luego

0{,}8\,C+0{,}75\,E = 34-19 = 15

Y sabemos que

C+E = 19

, es decir,

E = 19-C

0{,}8\,C+0{,}75\,(19-C) = 15 \;\Longrightarrow\; 0{,}8C+14{,}25-0{,}75C = 15

0{,}05\,C = 0{,}75 \;\Longrightarrow\; C = 15

E = 19-15 = 4

\textbf{Libro } 38, \qquad \textbf{Calculadora } 15, \qquad \textbf{Estuche } 4 \quad (\text{euros})

Comprobaciones.

38+15+4 = 57 \;\checkmark \qquad 38 = 2\,(15+4) = 38 \;\checkmark

0{,}5(38)+0{,}8(15)+0{,}75(4) = 19+12+3 = 34 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que un sistema sea indeterminado no significa que ninguna incógnita quede fijada: aquí $L = 38$ es único aunque $C$ y $E$ no lo sean. Distinguir eso es exactamente lo que pide a).

Traduce los descuentos a factores de pago: $50\,\%$ de descuento $\to$ se paga $0{,}5$ ; $20\,\% \to 0{,}8$ ; $25\,\% \to 0{,}75$ . Usar $0{,}5$ , $0{,}2$ y $0{,}25$ es el error clásico.

Comprueba las tres condiciones al final. En problemas con enunciado verbal, la verificación es la única forma de detectar una mala traducción.