Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2010 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera el sistema

\left.\begin{array}{rcrcrcr} 3x & - & 2y & + & z & = & \phantom{-}5 \\ 2x & - & 3y & + & z & = & -4\end{array}\right\}

a) [1,5 puntos] Calcula razonadamente un valor de

\lambda

para que el sistema resultante al añadirle la ecuación

\;x+y+\lambda z = 9\;

sea compatible indeterminado.

b) [1 punto] ¿Existe algún valor de

\lambda

para el cual el sistema resultante no tiene solución?

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = -9\lambda-3+4\lambda-2+5 = -5\lambda\;}

\boxed{\;\det M = 0 \iff \lambda = 0\;}

\boxed{\;\lambda = 0: \ F_{1}-F_{2} = F_{3} \text{ (con el t. indep.)} \Rightarrow \operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2: \text{ S.C.I.}\;}

\boxed{\;\text{b) No: si } \lambda\neq0 \text{ es S.C.D. y si } \lambda = 0 \text{ es S.C.I.}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Al añadir la tercera ecuación queda un sistema

3\times3

con parámetro solo en la matriz de coeficientes.

Si $\det M\neq0$ $\Rightarrow$ compatible determinado (solución única).
Para que sea indeterminado hace falta $\det M = 0$ y además que la ampliada no suba de rango.

Y la clave del apartado b): hay que comprobar si en ese valor crítico la ampliada tiene rango

3

(incompatible) o

2

(indeterminado). Aquí ocurre lo segundo, así que la respuesta a b) es no.

Desarrollo

El sistema completo.

\begin{cases} 3x-2y+z = 5 \\ 2x-3y+z = -4 \\ x+y+\lambda z = 9\end{cases}

M = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda\end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 9\end{pmatrix}

El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det M = 3\,(-3\lambda-1)+2\,(2\lambda-1)+1\,(2+3)

= -9\lambda-3+4\lambda-2+5 = -5\lambda

\det M = 0 \;\Longleftrightarrow\; \lambda = 0

a) El valor $\lambda = 0$ . Con él,

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & 1 & 5 \\ 2 & -3 & 1 & -4 \\ 1 & 1 & 0 & 9\end{array}\right)

Observación clave: restando las dos primeras filas se obtiene exactamente la tercera, también en el término independiente:

F_{1}-F_{2} = (1,\; 1,\; 0 \mid 5-(-4)) = (1,\; 1,\; 0 \mid 9) = F_{3} \;\checkmark

Y el menor

\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -3\end{vmatrix} = -9+4 = -5 \neq 0

da rango

2

en ambas matrices:

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

\lambda = 0

La solución (con

z = t

, de las dos primeras): restando la segunda de la primera,

\;x+y = 9

; y de la primera,

\;3x-2y = 5-t

. Sustituyendo

y = 9-x

3x-18+2x = 5-t \;\Longrightarrow\; 5x = 23-t \;\Longrightarrow\; x = \frac{23-t}{5}, \quad y = \frac{22+t}{5}

b) ¿Puede ser incompatible?

Si $\lambda\neq0$ :

\;\det M\neq0 \Rightarrow \operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 3

: compatible determinado.

Si $\lambda = 0$ : acabamos de ver que es compatible indeterminado.

\textbf{No existe ningún } \lambda \textbf{ que haga el sistema incompatible}

(La razón de fondo: el único valor que anula el determinante es $\lambda=0$ , y justo ahí la tercera ecuación resulta ser combinación de las otras dos, término independiente incluido.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Anular el determinante no basta para que sea indeterminado: hay que comprobar que la ampliada tampoco sube de rango. Los dos casos ( $\lambda\neq0$ y $\lambda=0$ ) hay que estudiarlos.

Fíjate en las combinaciones de filas de la ampliada. Aquí $F_{1}-F_{2} = F_{3}$ incluido el término independiente: eso demuestra la compatibilidad de un vistazo.

El apartado b) tiene respuesta negativa, y hay que justificarla recorriendo todos los casos. "No hay ningún $\lambda$ " es una respuesta perfectamente válida si se razona.