Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2017 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones lineales dado por

A\,X = B

siendo

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & \phantom{-}m & m \\ m & \phantom{-}1 & 3\end{pmatrix}, \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ m\end{pmatrix}

a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de

m

.

b) [1 punto] Para

m = 2

, si es posible, resuelve el sistema dado.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = -2\,(m-2)(m+1)\;}

\boxed{\;m \neq 2,\,-1: \text{ compatible determinado}; \qquad m = 2 \text{ y } m = -1: \text{ compatible indeterminado}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad (x,y,z) = (1 - 4t,\; -t,\; 3t), \qquad t\in\mathbb{R}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché–Frobenius. El determinante se factoriza y da dos valores críticos, pero aquí hay una particularidad: en los dos casos el sistema resulta ser compatible indeterminado. No hay ningún valor de

m

que lo haga incompatible.

Conviene comprobarlo con cuidado: el parámetro aparece también en $B$ , así que la relación entre filas tiene que verificarse en la columna de términos independientes.

Desarrollo

a) Determinante. Desarrollando por la primera fila:

|A| = 1\,\bigl(3m - m\bigr) + 1\,\bigl(3 - m^{2}\bigr) + 1\,\bigl(1 - m^{2}\bigr)

= 2m + 3 - m^{2} + 1 - m^{2} = -2m^{2} + 2m + 4

= -2\,\bigl(m^{2} - m - 2\bigr) = -2\,(m-2)(m+1)

|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 2 \quad \text{o} \quad m = -1

Caso $m \neq 2$ y $m \neq -1$ .

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 3

: compatible determinado.

Caso $m = 2$ .

A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & \phantom{-}2 & 2 & 1 \\ 2 & \phantom{-}1 & 3 & 2\end{array}\right)

La tercera fila es la suma de las dos primeras, término independiente incluido (

1+1 = 2\;\checkmark

): es redundante. Con el menor

\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 2\end{array}\right| = 3 \neq 0

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{compatible indeterminado}

Caso $m = -1$ .

A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} \phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 \\ \phantom{-}1 & -1 & -1 & \phantom{-}1 \\ -1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}3 & -1\end{array}\right)

Ahora

F_{3} = F_{1} - 2F_{2}

, también en el término independiente (

1 - 2 = -1\;\checkmark

). Con el menor

\left|\begin{array}{cc} -1 & \phantom{-}1 \\ -1 & -1\end{array}\right| = 2 \neq 0

(columnas segunda y tercera):

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{compatible indeterminado}

El sistema nunca es incompatible.

b) Resolución con $m = 2$ . Quedan las dos primeras ecuaciones:

\begin{cases} x - \phantom{2}y + \phantom{2}z = 1 \\ x + 2y + 2z = 1\end{cases}

Restando la primera de la segunda:

3y + z = 0 \;\Longrightarrow\; y = -\frac{z}{3}

Y de la primera:

x = 1 + y - z = 1 - \frac{z}{3} - z = 1 - \frac{4z}{3}

Tomando

z = 3t

para evitar fracciones:

(x, y, z) = \bigl(1 - 4t,\; -t,\; 3t\bigr), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación:

\;(1-4t) + t + 3t = 1\;\checkmark

;

\;(1-4t) - 2t + 6t = 1\;\checkmark

; y la tercera,

\;2(1-4t) - t + 9t = 2\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que los dos valores críticos den sistemas indeterminados no es lo habitual, pero ocurre. Precisamente por eso hay que estudiarlos por separado y no dar por sentado que uno será incompatible.

Como el parámetro está también en $B$ , la comprobación decisiva es que la relación entre filas se cumpla incluyendo el término independiente. Aquí sí se cumple en ambos casos, y por eso no hay incompatibilidad.

Al parametrizar, elegir $z = 3t$ en lugar de $z = t$ elimina todas las fracciones y deja la solución mucho más limpia. Es un truco que merece la pena tener presente.