Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2021 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 5 (bloque B). Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} m & m & m \\ m & m+1 & m \\ m & m & m+2 \end{pmatrix}

a) [1,5 puntos] ¿Para qué valores de

m

existe la inversa de la matriz

A

? Razona la respuesta.

b) [1 punto] Para

m = 1

, halla

\left(\dfrac{1}{2}A\right)^{-1}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = 2m; \quad \text{existe } A^{-1} \Longleftrightarrow m \neq 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \left(\tfrac{1}{2}A\right)^{-1} = 2A^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), el determinante se calcula sin esfuerzo si se observa que las tres filas comparten la primera columna y se diferencian muy poco: restando la primera fila a las otras dos aparecen dos filas con casi todo ceros y el determinante queda triangular.

En b) conviene recordar la propiedad

\left(k\,A\right)^{-1} = \frac{1}{k}\,A^{-1}

de modo que

\left(\frac{1}{2}A\right)^{-1} = 2\,A^{-1}

. Calcular primero

\frac{1}{2}A

y luego invertirla también funciona, pero obliga a manejar fracciones en todos los pasos.

Desarrollo

a) Determinante. Restamos la primera fila a la segunda y a la tercera (operaciones que no alteran el determinante):

|A| = \left|\begin{array}{ccc} m & m & m \\ m & m+1 & m \\ m & m & m+2 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} m & m & m \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right|

La matriz resultante es triangular superior, así que el determinante es el producto de la diagonal:

|A| = m \cdot 1 \cdot 2 = 2m

|A| \neq 0 \;\Longleftrightarrow\; m \neq 0

Existe $A^{-1}$ para todo $m \neq 0$ .

(Tiene sentido: si $m = 0$ , la primera fila es $(0,0,0)$ y el determinante se anula necesariamente.)

b) Caso $m = 1$ .

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \qquad |A| = 2\cdot 1 = 2 \neq 0

La propiedad del escalar.

\left(\frac{1}{2}A\right)^{-1} = \frac{1}{1/2}\,A^{-1} = 2\,A^{-1}

Cálculo de $A^{-1}$ . La matriz adjunta traspuesta es

\operatorname{adj}(A)^{t} = \begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

(Por ejemplo, $A_{11} = \left|\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\right| = 5$ y $A_{23} = -\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right| = 0$ . Al ser $A$ simétrica, su inversa también lo es: buena señal.)

A^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Resultado.

\left(\frac{1}{2}A\right)^{-1} = 2\,A^{-1} = 2\cdot\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Los dos factores

2

\frac{1}{2}

se cancelan y el resultado sale entero.

Comprobación. Multiplicando

\frac{1}{2}A

por esa matriz:

\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = I \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para el determinante, crea ceros antes de desarrollar: restar la primera fila a las otras dos deja una matriz triangular y el resultado sale de un vistazo. Desarrollar por adjuntos con los $m$ , $m+1$ y $m+2$ también funciona, pero salen términos que acaban cancelándose y es fácil perder alguno.

Y usa la propiedad $\left(kA\right)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$ : con $k = \frac{1}{2}$ queda $2A^{-1}$ , y los factores se cancelan dejando enteros. Si en vez de eso calculas primero $\frac{1}{2}A$ y luego su inversa por adjuntos, arrastras fracciones en las nueve entradas y el riesgo de error se multiplica.