Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2023 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 6 (bloque B). Una plataforma de streaming se especializa en series de tres géneros: animación, ciencia ficción y comedia. Se sabe que el

30\,\%

de las series de animación más el

50\,\%

de las de ciencia ficción coincide con el

20\,\%

del total de series. El

25\,\%

de las series de animación más el

50\,\%

de las de ciencia ficción más el

60\,\%

de las de comedia representan la mitad del total de series. Hay

100

series menos de animación que de ciencia ficción. Halla el número de series de cada género.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;300 \text{ series de animación}, \quad 400 \text{ de ciencia ficción}, \quad 750 \text{ de comedia}\;}

\boxed{\;\text{Total: } 1450 \text{ series}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Como en todos los problemas de porcentajes sobre un total desconocido, la clave está en no inventar una cuarta incógnita: el total es la suma

x+y+z

de las tres que ya tenemos.

Las dos primeras condiciones dan ecuaciones homogéneas (al pasar todo a un lado, el término independiente es cero), y la tercera —la diferencia de

100

series— es la que fija la escala. Sin ella el sistema tendría infinitas soluciones proporcionales entre sí.

Desarrollo

Incógnitas.

x

= series de animación,

y

= series de ciencia ficción,

z

= series de comedia. El total es

T = x + y + z

.

Primera condición.

0{,}30x + 0{,}50y = 0{,}20\,(x + y + z)

0{,}30x + 0{,}50y = 0{,}20x + 0{,}20y + 0{,}20z \;\Longrightarrow\; 0{,}10x + 0{,}30y - 0{,}20z = 0

Multiplicando por

10

x + 3y - 2z = 0

Segunda condición.

0{,}25x + 0{,}50y + 0{,}60z = 0{,}50\,(x + y + z)

0{,}25x + 0{,}50y + 0{,}60z = 0{,}50x + 0{,}50y + 0{,}50z \;\Longrightarrow\; -0{,}25x + 0{,}10z = 0

Los términos en

y

se cancelan solos: multiplicando por

20

-5x + 2z = 0 \;\Longrightarrow\; z = \frac{5x}{2}

Tercera condición. "Cien series menos de animación que de ciencia ficción":

x = y - 100 \;\Longleftrightarrow\; y = x + 100

Resolución. Llevando

y = x + 100

z = \frac{5x}{2}

a la primera ecuación:

x + 3\,(x + 100) - 2\cdot\frac{5x}{2} = 0 \;\Longrightarrow\; x + 3x + 300 - 5x = 0 \;\Longrightarrow\; -x + 300 = 0

x = 300, \qquad y = 400, \qquad z = \frac{5\cdot 300}{2} = 750

El total es

T = 300 + 400 + 750 = 1450

series.

Comprobación.

0{,}30\cdot 300 + 0{,}50\cdot 400 = 90 + 200 = 290 = 0{,}20\cdot 1450 \quad \checkmark

0{,}25\cdot 300 + 0{,}50\cdot 400 + 0{,}60\cdot 750 = 75 + 200 + 450 = 725 = 0{,}50\cdot 1450 \quad \checkmark

400 - 300 = 100 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El "total de series" es $x+y+z$ : no le pongas nombre propio. Con una cuarta incógnita tendrías cuatro variables y solo tres ecuaciones, y el sistema quedaría indeterminado.

Fíjate en el regalo de la segunda condición: los términos en $y$ se cancelan y queda una relación directa entre $x$ y $z$ . Merece la pena simplificar cada ecuación antes de montar el sistema; a veces, como aquí, una de ellas se reduce a dos incógnitas y el resto sale por sustitución sin necesidad de Gauss ni Cramer.