Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2016 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones dado en forma matricial mediante

A\,X = B

siendo

A = \begin{pmatrix} \phantom{-}1 & 1 & 2 \\ -1 & m+2 & m \\ \phantom{-}1 & 1 & m+2\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1-m \\ m \\ 7\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}

a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de

m

.

b) [1 punto] Resuelve el sistema para

m = -3

y determina en dicho caso, si existe, una solución en la que

x = 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = m\,(m+3)\;}

\boxed{\;m \neq 0,\,-3: \text{ determinado} \quad\big|\quad m = 0: \text{ incompatible} \quad\big|\quad m = -3: \text{ indeterminado}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad (x,y,z) = (t,\; 6-t,\; -1); \qquad \text{con } x = 2: \; (2,\, 4,\, -1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché–Frobenius. Merece la pena fijarse en que la primera y la tercera fila de

A

solo se diferencian en el último elemento:

2

frente a

m+2

. Restándolas, la ecuación se simplifica muchísimo.

El determinante sale factorizado con dos raíces, y los dos casos críticos se comportan de forma opuesta: uno indeterminado y otro incompatible.

Desarrollo

Matrices.

A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} \phantom{-}1 & 1 & 2 & 1-m \\ -1 & m+2 & m & m \\ \phantom{-}1 & 1 & m+2 & 7\end{array}\right)

a) Determinante. Restando la primera fila a la tercera (no cambia el determinante):

|A| = \left|\begin{array}{ccc} \phantom{-}1 & 1 & 2 \\ -1 & m+2 & m \\ \phantom{-}0 & 0 & m\end{array}\right| = m\cdot\left|\begin{array}{cc} \phantom{-}1 & 1 \\ -1 & m+2\end{array}\right|

= m\,\bigl(m + 2 + 1\bigr) = m\,(m+3)

|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 0 \quad \text{o} \quad m = -3

Caso $m \neq 0$ y $m \neq -3$ .

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 3

: compatible determinado.

Caso $m = 0$ .

A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} \phantom{-}1 & 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 & 0 \\ \phantom{-}1 & 1 & 2 & 7\end{array}\right)

La primera y la tercera fila tienen los mismos coeficientes pero distinto término independiente (

1

7

): el sistema exige

x+y+2z = 1

x+y+2z = 7

a la vez.

En rangos: el menor

\left|\begin{array}{cc} \phantom{-}1 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right| = 3 \neq 0

\operatorname{rg}(A) = 2

, y al orlarlo con la columna de términos independientes:

\left|\begin{array}{ccc} \phantom{-}1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ \phantom{-}1 & 1 & 7\end{array}\right| = 14 + 7 - 3 = 18 \neq 0

\operatorname{rg}(A) = 2 < 3 = \operatorname{rg}(A^{*}) \;\Longrightarrow\; \textbf{incompatible}

Caso $m = -3$ .

A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}2 & \phantom{-}4 \\ -1 & -1 & -3 & -3 \\ \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}7\end{array}\right)

Con el menor

\left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & -3\end{array}\right| = -3 + 2 = -1 \neq 0

(columnas primera y tercera) se tiene

\operatorname{rg}(A) = 2

. Orlando ese menor con la columna de términos independientes:

\left|\begin{array}{ccc} \phantom{-}1 & \phantom{-}2 & \phantom{-}4 \\ -1 & -3 & -3 \\ \phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}7\end{array}\right| = 1\,(-21-3) - 2\,(-7+3) + 4\,(1+3) = -24 + 8 + 16 = 0

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{compatible indeterminado}

b) Resolución con $m = -3$ . Restando la primera de la tercera ecuación:

(x + y - z) - (x + y + 2z) = 7 - 4 \;\Longrightarrow\; -3z = 3 \;\Longrightarrow\; z = -1

Y sustituyendo en la primera:

x + y - 2 = 4 \;\Longrightarrow\; x + y = 6 \;\Longrightarrow\; y = 6 - x

(x, y, z) = \bigl(t,\; 6-t,\; -1\bigr), \qquad t\in\mathbb{R}

Solución con $x = 2$ . Basta tomar

t = 2

(x,y,z) = (2,\, 4,\, -1)

Comprobación:

\;2 + 4 - 2 = 4\;\checkmark

;

\;-2 - 4 + 3 = -3\;\checkmark

;

\;2 + 4 + 1 = 7\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Simplifica antes de desarrollar: restar la primera fila a la tercera deja $(0,0,m)$ y el determinante sale factorizado en dos líneas, sin desarrollar ningún polinomio de grado tres.

Los dos valores críticos dan resultados opuestos. La señal más rápida está en el caso $m=0$ : dos ecuaciones con los mismos coeficientes y términos independientes distintos ( $1$ y $7$ ) es una contradicción inmediata.

En b), esa misma resta de ecuaciones resuelve el sistema: deja $-3z = 3$ , es decir $z=-1$ en todas las soluciones. Buscar las simplificaciones estructurales ahorra mucho más que aplicar Gauss a ciegas.