Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Determinantes

Andalucía · 2020 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 7. Considera

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}

a) [1,25 puntos] Halla los valores de

\lambda

tales que

|A - \lambda I| = 0

, donde

I

es la matriz identidad de orden 3.

b) [1,25 puntos] Para

\lambda = 1

, resuelve el sistema dado por

(A - \lambda I)\,X = 0

. ¿Existe alguna solución tal que

z = 1

? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A-\lambda I| = (1-\lambda)(\lambda-2)(\lambda+1) = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = 1,\; 2,\; -1\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad (x,y,z) = (t,\,0,\,0),\; t\in\mathbb{R}; \qquad \text{como } z = 0 \text{ siempre, no hay solución con } z = 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) hay que montar

A - \lambda I

(restar

\lambda

solo a la diagonal) y calcular su determinante. La primera columna tiene dos ceros, así que conviene desarrollar por ella: queda

(1-\lambda)

multiplicado por un determinante

2\times 2

, y la ecuación de tercer grado sale ya factorizada — sin tener que buscar raíces por Ruffini.

En b) el sistema es homogéneo, luego siempre compatible (al menos la solución trivial). Como

\lambda = 1

anula el determinante, será indeterminado: hay infinitas soluciones. La pregunta final se contesta mirando qué forma tiene la solución general.

Desarrollo

a) Matriz $A - \lambda I$ .

A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ 0 & -\lambda & 2 \\ 0 & 1 & 1-\lambda\end{pmatrix}

Determinante, desarrollando por la primera columna:

|A - \lambda I| = (1-\lambda)\cdot\left|\begin{array}{cc} -\lambda & 2 \\ 1 & 1-\lambda\end{array}\right| = (1-\lambda)\bigl[-\lambda\,(1-\lambda) - 2\bigr]

= (1-\lambda)\bigl(\lambda^{2} - \lambda - 2\bigr) = (1-\lambda)(\lambda - 2)(\lambda + 1)

|A - \lambda I| = 0 \;\Longleftrightarrow\; \lambda = 1, \quad \lambda = 2, \quad \lambda = -1

b) Caso $\lambda = 1$ .

A - I = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}

El sistema homogéneo

(A-I)X = 0

\begin{cases} \phantom{-}2y + 3z = 0 \\ -\phantom{2}y + 2z = 0 \\ \phantom{-2}y \phantom{{}+3z} = 0\end{cases}

De la tercera ecuación,

y = 0

. Llevándolo a la primera:

3z = 0 \;\Longrightarrow\; z = 0

(la segunda queda entonces

0 = 0

, se cumple). La incógnita

x

no aparece en ninguna ecuación: es libre.

\text{Solución general: } \quad (x, y, z) = (t,\, 0,\, 0), \qquad t \in \mathbb{R}

(Coherente con el rango: la matriz $A-I$ tiene la primera columna nula y $\operatorname{rg}(A-I) = 2$ , así que hay $3 - 2 = 1$ parámetro.)

¿Hay solución con $z = 1$ ? En todas las soluciones

z = 0

, luego

\text{No existe ninguna solución con } z = 1

La razón de fondo: la tercera ecuación fuerza

y = 0

y la primera, con

y=0

, fuerza

z = 0

. La única libertad del sistema está en

x

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Consejo

$A - \lambda I$ resta $\lambda$ solo en la diagonal principal, no a todos los elementos. Es el error número uno de este tipo de ejercicio y arruina la ecuación desde el principio.

Desarrolla por la columna con más ceros: aquí la primera deja el determinante ya en forma de producto, $(1-\lambda)\cdot(\text{algo de grado }2)$ , y las tres raíces salen sin Ruffini.

Y en b), un sistema homogéneo nunca es incompatible: la solución trivial siempre está. Que no exista solución con $z=1$ no contradice nada — significa que la recta de soluciones vive entera en el plano $z = 0$ .