Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2020 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones

\begin{cases} \phantom{5x + 2y +} -my + \phantom{(m-3)}z = \phantom{-}1 \\ 5x + 2y + \phantom{(m-3)}mz = \phantom{-}0 \\ \phantom{5x + 2y +} \phantom{-}my + (m-3)z = -3\end{cases}

a) [1,25 puntos] Discute el sistema en función de

m

.

b) [1,25 puntos] Para

m = 0

, resuelve el sistema. Calcula, si es posible, una solución en la que

y = 5

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = 5m(m-2)\;}

\boxed{\;m\neq 0,\,2: \text{ compatible determinado} \quad\big|\quad m = 2: \text{ incompatible} \quad\big|\quad m = 0: \text{ compatible indeterminado}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \left(t,\, -\tfrac{5t}{2},\, 1\right); \qquad \text{con } y = 5: \; (-2,\, 5,\, 1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché–Frobenius. La matriz de coeficientes tiene la primera columna casi vacía —solo la segunda fila aporta el

5

—, así que desarrollar el determinante por ella es inmediato.

Los valores que anulen

|A|

hay que examinarlos uno a uno: pueden dar sistemas incompatibles o indeterminados, y no tienen por qué comportarse igual.

En b), con

m=0

el sistema se vuelve muy transparente: dos de las tres ecuaciones dicen lo mismo sobre

z

, y la restante relaciona

x

y

Desarrollo

Matrices.

A = \begin{pmatrix} 0 & -m & 1 \\ 5 & 2 & m \\ 0 & m & m-3\end{pmatrix}, \qquad A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & -m & 1 & 1 \\ 5 & 2 & m & 0 \\ 0 & m & m-3 & -3\end{array}\right)

a) Determinante. Desarrollando por la primera columna (solo sobrevive el

5

, con signo

-

por ser posición

(2,1)

|A| = -5\cdot\left|\begin{array}{cc} -m & 1 \\ m & m-3\end{array}\right| = -5\bigl[-m\,(m-3) - m\bigr]

= -5\bigl[-m^{2} + 3m - m\bigr] = -5\bigl(-m^{2} + 2m\bigr) = 5m^{2} - 10m = 5m\,(m - 2)

|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 0 \quad \text{o} \quad m = 2

Caso $m \neq 0$ y $m \neq 2$ .

|A|\neq 0

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 3

, sistema compatible determinado.

Caso $m = 2$ .

A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & -2 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & -3\end{array}\right)

En la matriz de coeficientes, la tercera fila es la opuesta de la primera, luego

\operatorname{rg}(A) = 2

(el menor

\left|\begin{array}{cc} 0 & -2 \\ 5 & 2\end{array}\right| = 10 \neq 0

). Pero en los términos independientes esa relación se rompe:

-1\cdot 1 = -1 \neq -3

. Orlando:

\left|\begin{array}{ccc} 0 & -2 & 1 \\ 5 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -3\end{array}\right| = -5\cdot\left|\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 2 & -3\end{array}\right| = -5\,(6 - 2) = -20 \neq 0

\operatorname{rg}(A) = 2 < 3 = \operatorname{rg}(A^{*}) \;\Longrightarrow\; \textbf{incompatible}

Caso $m = 0$ .

A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -3\end{array}\right)

Ahora la tercera fila sí es

-3

veces la primera, también en el término independiente (

-3\cdot 1 = -3

): es redundante. Con el menor

\left|\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 5 & 0\end{array}\right| = -5 \neq 0

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{compatible indeterminado} \text{ (un parámetro)}

b) Resolución con $m = 0$ . El sistema queda

\begin{cases} z = 1 \\ 5x + 2y = 0 \\ -3z = -3\end{cases}

La tercera repite la primera. De la segunda, tomando

x = t

y = -\frac{5t}{2}

\text{Solución general: } \quad (x, y, z) = \left(t,\; -\frac{5t}{2},\; 1\right), \qquad t \in \mathbb{R}

Solución con $y = 5$ .

-\frac{5t}{2} = 5 \;\Longrightarrow\; t = -2 \;\Longrightarrow\; (x, y, z) = (-2,\, 5,\, 1)

Comprobación:

\;z = 1\;\checkmark

;

\;5(-2) + 2\cdot 5 = -10 + 10 = 0\;\checkmark

;

\;-3\cdot 1 = -3\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Fíjate en la diferencia entre los dos valores críticos: en ambos hay una fila de $A$ que es múltiplo de otra, pero solo en $m=0$ la proporción se mantiene en el término independiente. Esa es exactamente la frontera entre "compatible indeterminado" e "incompatible", y merece la pena escribirlo así de explícito en el examen.

Al parametrizar, elige el parámetro que te deje las cuentas más limpias. Aquí, con $x = t$ la $y$ sale con una fracción; con $x = 2t$ la solución general queda $(2t,\, -5t,\, 1)$ , sin fracciones. Es indiferente para la nota, pero conviene ser coherente hasta el final.