Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2012 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Dado el sistema de ecuaciones

\left.\begin{array}{rcl} k x+2y\phantom{{}+2kz} & = & 3 \\ -x\phantom{{}+2y}+2k z & = & -1 \\ 3x-\phantom{2}y-7z & = & k+1\end{array}\right\}

a) [1,75 puntos] Estudia el sistema para los distintos valores del parámetro

k

.

b) [0,75 puntos] Resuélvelo para

k = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = 2k^{2}+12k-14 = 2\,(k-1)(k+7)\;}

\boxed{\;\text{a) } k\neq1,-7: \text{ S.C.D.}; \quad k = -7: \text{ S.I.}; \quad k = 1: \text{ S.C.I.}\;}

\boxed{\;\text{b) } k=1: \ x = 2t+1, \ y = 1-t, \ z = t\;}

\boxed{\;(x,y,z) = (2t+1,\; 1-t,\; t)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché-Frobenius. El determinante da dos valores críticos, con comportamientos opuestos: uno incompatible y el otro indeterminado.

En b),

k=1

es precisamente el caso indeterminado, así que hay que dar la solución con un parámetro.

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} k & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 2k \\ 3 & -1 & -7\end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ k+1\end{pmatrix}

El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det M = k\,(0+2k)-2\,(7-6k)+0 = 2k^{2}-14+12k

\det M = 2\bigl(k^{2}+6k-7\bigr) = 2\,(k-1)(k+7)

\det M = 0 \;\Longleftrightarrow\; k = 1 \quad \text{o} \quad k = -7

a) Discusión.

Caso $k\neq1$ y $k\neq-7$ :

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible determinado}

Caso $k = -7$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} -7 & 2 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & -14 & -1 \\ 3 & -1 & -7 & -6\end{array}\right)

\operatorname{rg}M = 2

(menor

\begin{vmatrix} -7 & 2 \\ -1 & 0\end{vmatrix} = 2\neq0

). Orlando con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} -7 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & -1 \\ 3 & -1 & -6\end{vmatrix} = -7(0-1)-2(6+3)+3(1-0) = 7-18+3 = -8 \neq 0

\operatorname{rg}M = 2 < \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Incompatible}

Caso $k = 1$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & -7 & 2\end{array}\right)

Orlamos el menor

\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0\end{vmatrix} = 2 \neq 0

con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & -1 \\ 3 & -1 & 2\end{vmatrix} = 1(0-1)-2(-2+3)+3(1-0) = -1-2+3 = 0

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

b) Resolución para $k = 1$ . Nos quedamos con las dos primeras ecuaciones y tomamos

z = t

\begin{cases} \phantom{-}x+2y = 3 \\ -x+2t = -1\end{cases}

De la segunda:

\;x = 2t+1

. Y de la primera:

2y = 3-x = 3-2t-1 = 2-2t \;\Longrightarrow\; y = 1-t

(x,\,y,\,z) = \bigl(2t+1,\; 1-t,\; t\bigr), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación en la tercera ecuación (

3x-y-7z = 2

3\,(2t+1)-(1-t)-7t = 6t+3-1+t-7t = 2 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El parámetro aparece también en el término independiente ( $k+1$ ). Al sustituir $k=-7$ o $k=1$ , hazlo en toda la matriz ampliada, no solo en los coeficientes.

Los dos valores críticos dan resultados opuestos. La forma segura de distinguirlos es orlar un menor de orden $2$ no nulo con la columna de términos independientes: si ese determinante se anula, el sistema es compatible.

Aprovecha los ceros del sistema: la segunda ecuación con $k=1$ solo tiene $x$ y $z$ , así que tomando $z$ como parámetro sale $x$ de inmediato. Y comprueba en la tercera.