Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2014 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\left.\begin{array}{rcr} x+(m+1)y+2z & = & -1 \\ m x+\phantom{(m+1)}y+\phantom{2}z & = & m \\ (1-m)x+\phantom{(m+1)}2y+\phantom{2}z & = & -m-1\end{array}\right\}

a) [1,75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro

m

.

b) [0,75 puntos] Resuélvelo para

m = 2

. Para dicho valor de

m

, calcula, si es posible, una solución en la que

z = 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = -2m^{2}+5m-2 = -(2m-1)(m-2)\;}

\boxed{\;\text{a) } m\neq\tfrac12,2: \text{ S.C.D.}; \quad m=\tfrac12: \text{ S.I.}; \quad m=2: \text{ S.C.I.}\;}

\boxed{\;\text{b) } m=2: \quad (x,y,z) = \left(\frac{7-t}{5},\; \frac{-4-3t}{5},\; t\right)\;}

\boxed{\;z = 2 \Rightarrow t = 2: \quad (1,\, -2,\, 2)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché-Frobenius. El determinante da dos valores críticos, y hay que analizarlos por separado: uno resulta incompatible y el otro indeterminado.

En b), el valor

m=2

es precisamente el indeterminado, así que hay que dar la solución general con un parámetro. La segunda parte se resuelve dando a

z

el valor

2

en esa familia.

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} 1 & m+1 & 2 \\ m & 1 & 1 \\ 1-m & 2 & 1\end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} -1 \\ m \\ -m-1\end{pmatrix}

El determinante.

\det M = 1\,(1-2)-(m+1)\bigl(m-(1-m)\bigr)+2\bigl(2m-(1-m)\bigr)

= -1-(m+1)(2m-1)+2\,(3m-1) = -1-\bigl(2m^{2}+m-1\bigr)+6m-2

= -1-2m^{2}-m+1+6m-2 = -2m^{2}+5m-2

\det M = -(2m-1)(m-2) = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = \frac12 \quad \text{o} \quad m = 2

a) Discusión.

Caso $m\neq\frac12$ y $m\neq2$ :

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible determinado}

Caso $m = \frac12$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & \frac32 & 2 & -1 \\ \frac12 & 1 & 1 & \frac12 \\ \frac12 & 2 & 1 & -\frac32\end{array}\right)

\operatorname{rg}M = 2

(el menor

\begin{vmatrix} 1 & \frac32 \\ \frac12 & 1\end{vmatrix} = \frac14 \neq 0

). Orlando ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} 1 & \frac32 & -1 \\ \frac12 & 1 & \frac12 \\ \frac12 & 2 & -\frac32\end{vmatrix} = 1\left(-\frac32-1\right)-\frac32\left(-\frac34-\frac14\right)-1\left(\frac12\cdot2-1\cdot\frac12\right) = -\frac52+\frac32-\frac12 = -\frac32 \neq 0

luego

\operatorname{rg}M = 2 < \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Incompatible}

Caso $m = 2$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 & -3\end{array}\right)

Aquí se cumple

F_{3} = F_{1}-F_{2}

también en el término independiente (

-1-2 = -3

\checkmark

). Lo confirmamos orlando el menor

\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1\end{vmatrix} = -5\neq0

con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & -3\end{vmatrix} = 1(-3-4)-3(-6+2)-1(4+1) = -7+12-5 = 0

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

b) Resolución para $m = 2$ . Nos quedamos con las dos primeras ecuaciones y tomamos

z = t

\begin{cases} x+3y = -1-2t \\ 2x+\phantom{3}y = \phantom{-}2-\phantom{2}t\end{cases}

Multiplicando la segunda por

3

y restando la primera:

5x = 6-3t-(-1-2t) = 7-t \;\Longrightarrow\; x = \frac{7-t}{5}

Y de la segunda,

\;y = 2-t-2x = 2-t-\dfrac{2(7-t)}{5} = \dfrac{10-5t-14+2t}{5} = \dfrac{-4-3t}{5}

(x,\,y,\,z) = \left(\frac{7-t}{5},\; \frac{-4-3t}{5},\; t\right), \qquad t\in\mathbb{R}

La solución con $z = 2$ . Basta tomar

t = 2

x = \frac{7-2}{5} = 1, \qquad y = \frac{-4-6}{5} = -2, \qquad z = 2

(x,\,y,\,z) = (1,\, -2,\, 2)

Comprobación (con

m=2

\;1+3(-2)+4 = -1\;\checkmark

;

\;2-2+2 = 2\;\checkmark

;

\;-1-4+2 = -3\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con la solución general en función de $t$ , la segunda parte de b) es inmediata: como el parámetro es $z$ , basta hacer $t = 2$ . Elegir $z$ como parámetro es lo que hace fácil ese apartado.

Para decidir el caso $m=2$ , lo seguro es orlar el menor de orden $2$ con la columna de términos independientes. Fiarse de una relación entre filas "a ojo" es arriesgado; aquí ese determinante orlado vale $0$ y confirma la compatibilidad.

Comprueba la solución concreta en las tres ecuaciones. Has resuelto usando solo dos, así que la tercera es la verificación real de que el sistema era compatible.