Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2009 · Reserva 5 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3.

a) [1,25 puntos] Resuelve el sistema de ecuaciones

\left.\begin{array}{rcrcrcr} x & & & + & \phantom{2}z & = & 2 \\ -x & + & \phantom{2}y & + & 2z & = & 0 \\ -x & + & 2y & + & 5z & = & 2\end{array}\right\}

b) [1,25 puntos] Calcula

\lambda

sabiendo que el siguiente sistema tiene alguna solución común con el del apartado (a)

\left.\begin{array}{rcrcrcr} x & + & \phantom{2}y & + & \phantom{\lambda}z & = & \phantom{-}1 \\ -x & + & \phantom{2}y & + & 3z & = & \phantom{-}1 \\ x & + & 2y & + & \lambda z & = & -3\end{array}\right\}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = 0, \ \operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 \;\Longrightarrow\; \text{S.C.I.}\;}

\boxed{\;\text{a) } (x,y,z) = (2-t,\; 2-3t,\; t)\;}

\boxed{\;\text{Sustituyendo en } x+y+z = 1: \ 4-3t = 1 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow (1,-1,1)\;}

\boxed{\;\text{b) } 1-2+\lambda = -3 \;\Longrightarrow\; \lambda = -2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) El determinante sale $0$ y el rango es $2$ : el sistema es compatible indeterminado, con solución dependiente de un parámetro.
b) "Tener alguna solución común" significa que algún punto de la recta solución de a) cumple también el segundo sistema. Se sustituye la solución paramétrica en las ecuaciones del segundo sistema: las que no llevan $\lambda$ fijan el parámetro, y la que sí lo lleva da $\lambda$ .

Desarrollo

a) El primer sistema.

M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 5\end{pmatrix}

\det M = 1\,(5-4)-0+1\,(-2+1) = 1-1 = 0

El menor

\;\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1\end{vmatrix} = 1 \neq 0\;

\operatorname{rg}M = 2

. Y orlándolo con los términos independientes:

\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 2\end{vmatrix} = 1\,(2-0)-0+2\,(-2+1) = 2-2 = 0

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

Resolvemos. De la primera:

\;x = 2-z

. De la segunda:

-(2-z)+y+2z = 0 \;\Longrightarrow\; -2+z+y+2z = 0 \;\Longrightarrow\; y = 2-3z

Comprobación en la tercera:

\;-(2-z)+2(2-3z)+5z = -2+z+4-6z+5z = 2

\;\checkmark

Con

z = t

(x,\,y,\,z) = \bigl(2-t,\; 2-3t,\; t\bigr), \qquad t\in\mathbb{R}

(Geométricamente: una recta.)

b) La solución común. Sustituimos

(2-t,\,2-3t,\,t)

en la primera ecuación del segundo sistema (que no lleva

\lambda

(2-t)+(2-3t)+t = 4-3t = 1 \;\Longrightarrow\; t = 1

\text{El punto candidato es } (1,\,-1,\,1)

Comprobamos la segunda (tampoco lleva

\lambda

-1+(-1)+3\cdot1 = 1 \;\checkmark

Y en la tercera despejamos $\lambda$ :

1+2(-1)+\lambda\cdot1 = -3 \;\Longrightarrow\; -1+\lambda = -3 \;\Longrightarrow\; \lambda = -2

\lambda = -2

Comprobación completa con

(1,-1,1)

\lambda = -2

1-1+1 = 1 \;\checkmark \qquad -1-1+3 = 1 \;\checkmark \qquad 1-2-2 = -3 \;\checkmark

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Consejo

"Solución común" no exige resolver el segundo sistema: basta sustituir la solución paramétrica de a) en él. Es mucho más corto que discutir un sistema $3\times3$ con parámetro.

Empieza por las ecuaciones sin $\lambda$ : fijan el valor del parámetro $t$ y dejan la tercera para despejar $\lambda$ directamente.

Comprueba la segunda ecuación antes de seguir: si no se cumpliera con ese $t$ , no habría ningún $\lambda$ que sirviera y la respuesta sería "no existe".