Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2013 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\left.\begin{array}{rcl} \phantom{-}2x-4y+\phantom{3m}6z & = & 6 \\ \phantom{-2x+}m y+\phantom{3m}2z & = & m+1 \\ -3x+6y-3m z & = & -9\end{array}\right\}

a) [1,75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro

m

.

b) [0,75 puntos] Resuélvelo para

m = 3

. Para dicho valor de

m

, calcula, si es posible, una solución en la que

y = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = -6m^{2}+18m = -6m\,(m-3)\;}

\boxed{\;\text{a) } m\neq0,3: \text{ S.C.D.}; \quad m = 0: \text{ S.I.}; \quad m = 3: \text{ S.C.I.}\;}

\boxed{\;\text{b) } m=3: \ (x,y,z) = \left(\frac{17-13t}{3},\; \frac{4-2t}{3},\; t\right)\;}

\boxed{\;y = 0 \Rightarrow t = 2: \quad (-3,\, 0,\, 2)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché-Frobenius. Los dos valores críticos dan comportamientos opuestos: uno incompatible y el otro indeterminado.

Un detalle que conviene ver de entrada: la primera y la tercera ecuación tienen los coeficientes de

x

y

proporcionales (

2,-4

frente a

-3,6

, razón

-\frac32

), y también los términos independientes (

6

-9

). Solo el término en

z

decide si son o no la misma ecuación.

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 6 \\ 0 & m & 2 \\ -3 & 6 & -3m\end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} 6 \\ m+1 \\ -9\end{pmatrix}

El determinante. Desarrollando por la primera columna:

\det M = 2\bigl(-3m^{2}-12\bigr)-3\bigl(-8-6m\bigr) = -6m^{2}-24+24+18m

\det M = -6m^{2}+18m = -6m\,(m-3)

\det M = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 0 \quad \text{o} \quad m = 3

a) Discusión.

Caso $m\neq0$ y $m\neq3$ :

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible determinado}

Caso $m = 0$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -4 & 6 & 6 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ -3 & 6 & 0 & -9\end{array}\right)

\operatorname{rg}M = 2

(menor

\begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 0 & 2\end{vmatrix} = 4\neq0

). Orlando con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} 2 & 6 & 6 \\ 0 & 2 & 1 \\ -3 & 0 & -9\end{vmatrix} = 2(-18-0)-6(0+3)+6(0+6) = -36-18+36 = -18 \neq 0

\operatorname{rg}M = 2 < \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Incompatible}

Caso $m = 3$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -4 & 6 & 6 \\ 0 & 3 & 2 & 4 \\ -3 & 6 & -9 & -9\end{array}\right)

Ahora

F_{3} = -\frac32 F_{1}

también en el término independiente (

-\frac32\cdot6 = -9

\checkmark

): la tercera ecuación es redundante.

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

b) Resolución para $m = 3$ . Nos quedamos con las dos primeras ecuaciones y tomamos

z = t

\begin{cases} 2x-4y = 6-6t \\ \phantom{2x+}3y = 4-2t\end{cases}

De la segunda:

\;y = \dfrac{4-2t}{3}

. Y de la primera:

x = \frac{6-6t+4y}{2} = 3-3t+2\cdot\frac{4-2t}{3} = \frac{9-9t+8-4t}{3} = \frac{17-13t}{3}

(x,\,y,\,z) = \left(\frac{17-13t}{3},\; \frac{4-2t}{3},\; t\right), \qquad t\in\mathbb{R}

La solución con $y = 0$ .

\frac{4-2t}{3} = 0 \;\Longrightarrow\; t = 2

x = \frac{17-26}{3} = \frac{-9}{3} = -3, \qquad y = 0, \qquad z = 2

(x,\,y,\,z) = (-3,\, 0,\, 2)

Comprobación (con

m=3

\;-6-0+12 = 6\;\checkmark

;

\;0+4 = 4\;\checkmark

;

\;9+0-18 = -9\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Fíjate en las ecuaciones primera y tercera: sus coeficientes en $x$ , $y$ y sus términos independientes son proporcionales (razón $-\frac32$ ). Solo el término en $z$ decide, y con $m=3$ también encaja: la tercera ecuación sobra.

Los dos valores críticos dan resultados opuestos ( $m=0$ incompatible, $m=3$ indeterminado). Analízalos por separado.

Toma $z$ como parámetro y despeja $y$ primero (la segunda ecuación solo tiene $y$ y $z$ ). Y para la solución con $y=0$ , basta con anular ese numerador.