Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2018 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}

a) [1,5 puntos] Discute el sistema dado por

A\,X = m\,X

según los valores del parámetro

m

.

b) [0,5 puntos] Da la solución del sistema en los casos en que es compatible determinado.

c) [0,5 puntos] Para

m = 3

resuelve el sistema y halla, si es posible, una solución en la que

x + y + z = 3

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A\,X = m\,X \;\Longleftrightarrow\; \bigl(A - mI\bigr)X = 0 \quad (\text{homogéneo})\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad |A - mI| = (2-m)^{2}(3-m): \quad m\neq 2,3 \text{ determinado}; \; m=2 \text{ indet. (2 par.)}; \; m=3 \text{ indet. (1 par.)}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad (0,0,0) \qquad\qquad \text{c)}\quad (0,t,t); \; \text{con } x+y+z=3: \; \left(0,\tfrac32,\tfrac32\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es reescribir la ecuación.

A\,X = m\,X

no es un sistema con término independiente: pasando todo a un lado,

A\,X - m\,X = 0 \;\Longrightarrow\; \bigl(A - m\,I\bigr)X = 0

donde el escalar

m

se convierte en

m\,I

. Es un sistema homogéneo, así que:

Nunca es incompatible (siempre está la solución trivial).
Es determinado cuando $|A - mI| \neq 0$ , y entonces la única solución es $(0,0,0)$ — eso responde ya el apartado b).
Es indeterminado exactamente cuando $|A - mI| = 0$ .

Desarrollo

La matriz del sistema.

A - m\,I = \begin{pmatrix} 2-m & 0 & 0 \\ 1 & 2-m & 1 \\ 1 & 0 & 3-m\end{pmatrix}

a) Determinante. Desarrollando por la primera fila (dos ceros):

|A - mI| = (2-m)\cdot\left|\begin{array}{cc} 2-m & 1 \\ 0 & 3-m\end{array}\right| = (2-m)^{2}\,(3-m)

|A - mI| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 2 \ \text{(doble)} \quad \text{o} \quad m = 3

Discusión.

Si $m \neq 2$ y $m \neq 3$ : $\operatorname{rg} = 3$ , sistema compatible determinado.
Si $m = 2$ :

A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}

Solo hay una fila independiente:

\operatorname{rg} = 1

, sistema compatible indeterminado con dos parámetros.

Si $m = 3$ :

A - 3I = \begin{pmatrix} -1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}1 \\ \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0\end{pmatrix}

El menor

\left|\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right| = 1 \neq 0

\operatorname{rg} = 2

: compatible indeterminado con un parámetro.

b) Caso compatible determinado. Al ser el sistema homogéneo, la única solución cuando

\operatorname{rg} = 3

es la trivial:

(x, y, z) = (0,\, 0,\, 0)

c) Caso $m = 3$ . El sistema es

\begin{cases} -x \phantom{{}- y + z} = 0 \\ \phantom{-}x - y + z = 0 \\ \phantom{-}x \phantom{{}- y + z} = 0\end{cases}

De la primera (o la tercera),

x = 0

. Y de la segunda,

-y + z = 0

, es decir

y = z

(x, y, z) = (0,\, t,\, t), \qquad t\in\mathbb{R}

Solución con $x + y + z = 3$ .

0 + t + t = 3 \;\Longrightarrow\; t = \frac32 \;\Longrightarrow\; (x,y,z) = \left(0,\; \frac32,\; \frac32\right)

Comprobación:

\;-0 = 0\;\checkmark

;

\;0 - \tfrac32 + \tfrac32 = 0\;\checkmark

; y

\;0 + \tfrac32 + \tfrac32 = 3\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El paso decisivo es escribir $A\,X - m\,X = \bigl(A - mI\bigr)X$ : el escalar $m$ debe convertirse en $m\,I$ , porque no se puede restar un número a una matriz. Tratar $mX$ como término independiente hace inabordable el ejercicio.

En un sistema homogéneo, "compatible determinado" significa solo la solución trivial. El apartado b) se responde en una línea, sin resolver nada, y merece la pena decir por qué.

Ojo con el rango en los valores críticos: con $m=2$ baja hasta 1 (dos parámetros) y con $m=3$ se queda en 2 (un parámetro). No todos los ceros del determinante se comportan igual, ni siquiera cuando uno es raíz doble.