Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2014 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. [2,5 puntos] Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & -5 & 3\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}

Halla la matriz

X

que verifica

A^{-1}X\,A = B-A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = -1 \neq 0; \qquad A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\ 0 & -5 & 2\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;A^{-1}X\,A = B-A \;\Longrightarrow\; X = A\,(B-A)\,A^{-1}\;}

\boxed{\;B-A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & -3\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} -1 & -5 & 2 \\ -1 & 18 & -7 \\ -2 & 45 & -18\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Ecuación matricial con

X

"encajonada" entre

A^{-1}

(izquierda) y

A

(derecha). Para despejarla hay que deshacer cada lado por su lado:

multiplicar por $A$ por la izquierda (para cancelar $A^{-1}$ ),
y por $A^{-1}$ por la derecha (para cancelar $A$ ).

A^{-1}X\,A = B-A \;\Longrightarrow\; X = A\,\bigl(B-A\bigr)A^{-1}

Antes hay que comprobar

\det A\neq0

y calcular

A^{-1}

Desarrollo

El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det A = 1\cdot\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -5 & 3\end{vmatrix} = -6+5 = -1 \neq 0

A \text{ es invertible: la ecuación tiene solución única}

La inversa. Por la forma de

A

(primera fila y columna de la identidad), basta invertir el bloque

2\times2

de abajo a la derecha, cambiando de sitio la diagonal principal, de signo la secundaria y dividiendo por su determinante

-1

\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -5 & 3\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -5 & 2\end{pmatrix}

(Con el método de los adjuntos sale lo mismo: los adjuntos de la primera fila y columna son $0$ salvo $A_{11} = -1$ .)

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\ 0 & -5 & 2\end{pmatrix}

(Comprobación: $A\,A^{-1} = I$ ; por ejemplo, fila $2$ : $\;(0,\; 6-5,\; -2+2) = (0,1,0)$ $\checkmark$ )

Despejando $X$ .

A^{-1}X\,A = B-A

Multiplicamos por

A

por la izquierda y por

A^{-1}

por la derecha:

X = A\,\bigl(B-A\bigr)\,A^{-1}

La resta.

B-A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & -5 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & -3\end{pmatrix}

Primer producto: $A\,(B-A)$ .

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & -5 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -3 \\ -2 & 0 & -9\end{pmatrix}

Segundo producto, por $A^{-1}$ a la derecha.

X = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -3 \\ -2 & 0 & -9\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\ 0 & -5 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -5 & 2 \\ -1 & 18 & -7 \\ -2 & 45 & -18\end{pmatrix}

Comprobación.

\;A^{-1}X\,A = B-A

\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$X$ está entre dos factores, así que hay que deshacer cada uno por su lado: $A$ por la izquierda y $A^{-1}$ por la derecha. El resultado es $A(B-A)A^{-1}$ , no $A^{-1}(B-A)A$ ni $(B-A)$ multiplicado por cualquier orden.

Fíjate en que la primera fila y la primera columna de $A$ son las de la identidad: eso simplifica mucho tanto la inversa como los dos productos. Buscar esa estructura antes de operar ahorra errores.

Comprueba $A\,A^{-1} = I$ antes de los productos: si la inversa está mal, las dos multiplicaciones posteriores no sirven de nada.