Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2013 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Sean

A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -3 \\ -1 & m & m-2 \\ m & 0 & 2\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}

a) [1,25 puntos] Determina el rango de

A

según los valores del parámetro

m

.

b) [0,75 puntos] Discute el sistema

A\,X = B

según los valores del parámetro

m

.

c) [0,5 puntos] Resuelve el sistema

A\,X = B

para

m = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = 4m^{2}-6m+2 = 2\,(m-1)(2m-1)\;}

\boxed{\;\text{a) } \operatorname{rg}A = 3 \text{ si } m\neq1,\tfrac12; \qquad \operatorname{rg}A = 2 \text{ si } m = 1 \text{ o } m = \tfrac12\;}

\boxed{\;\text{b) } m\neq1,\tfrac12: \text{ S.C.D.}; \quad m = \tfrac12: \text{ S.I.}; \quad m = 1: \text{ S.C.I.}\;}

\boxed{\;\text{c) } m=1: \ (x,y,z) = (-2t,\; 1-t,\; t)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los tres apartados se apoyan en el mismo determinante:

a) $\operatorname{rg}A = 3$ donde $\det A\neq0$ ; en las raíces hay que bajar a menores de orden $2$ .
b) Rouché-Frobenius: se compara $\operatorname{rg}A$ con $\operatorname{rg}A^{*}$ en cada caso crítico. Uno resultará incompatible y el otro indeterminado.
c) $m=1$ es el caso indeterminado, así que hay que dar la solución con un parámetro.

Desarrollo

El determinante.

\det A = -2\,(2m-0)-1\,(-2-m\,(m-2))+(-3)(0-m^{2})

= -4m+2+m^{2}-2m+3m^{2} = 4m^{2}-6m+2

\det A = 2\,(2m^{2}-3m+1) = 2\,(m-1)(2m-1)

\det A = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 1 \quad \text{o} \quad m = \frac12

a) El rango de $A$ .

Caso $m\neq1$ y $m\neq\frac12$ :

\;\operatorname{rg}A = 3

.

Caso $m = 1$ :

A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -3 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2\end{pmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 1\end{vmatrix} = -1 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}A = 2

Caso $m = \frac12$ :

A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -3 \\ -1 & \frac12 & -\frac32 \\ \frac12 & 0 & 2\end{pmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ \frac12 & 0\end{vmatrix} = -\frac12 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}A = 2

\operatorname{rg}A = \begin{cases} 3 & \text{si } m\neq1,\, \tfrac12 \\ 2 & \text{si } m = 1 \text{ o } m = \tfrac12\end{cases}

b) Discusión del sistema.

Caso $m\neq1,\frac12$ :

\;\operatorname{rg}A = \operatorname{rg}A^{*} = 3

: Compatible determinado.

Caso $m = \frac12$ : orlamos el menor de orden

2

de las columnas

1.^{\text{a}}

2.^{\text{a}}

con la columna

B = (1,1,0)

(desarrollando por la tercera fila):

\begin{vmatrix} -2 & 1 & 1 \\ -1 & \frac12 & 1 \\ \frac12 & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac12\left(1\cdot1-1\cdot\frac12\right) = \frac14 \neq 0

luego

\operatorname{rg}A = 2 < \operatorname{rg}A^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Incompatible}

Caso $m = 1$ : aquí

F_{1} = F_{2}-F_{3}

(comprobación:

(-1,1,-1)-(1,0,2) = (-2,1,-3)

\checkmark

), y también en el término independiente:

1-0 = 1

\checkmark

\operatorname{rg}A = \operatorname{rg}A^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

c) Resolución para $m = 1$ . Nos quedamos con la segunda y la tercera ecuación (la primera es su diferencia) y tomamos

z = t

\begin{cases} -x+y-\phantom{2}t = 1 \\ \phantom{-}x\phantom{{}+y}+2t = 0\end{cases}

De la segunda:

\;x = -2t

. Y de la primera:

y = 1+x+t = 1-2t+t = 1-t

(x,\,y,\,z) = \bigl(-2t,\; 1-t,\; t\bigr), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación con

t=1

(-2,0,1)

;

\;4+0-3 = 1\;\checkmark

;

\;2+0-1 = 1\;\checkmark

;

\;-2+0+2 = 0\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los apartados a) y b) no son lo mismo: a) es solo el rango de $A$ ; b) compara ese rango con el de la ampliada. Los dos valores críticos dan el mismo rango en a) pero comportamientos distintos en b).

Con $m=1$ , detectar $F_{1} = F_{2}-F_{3}$ incluyendo el término independiente resuelve el caso sin orlar menores, y de paso te dice qué ecuación puedes descartar en c).

Comprueba la solución en las tres ecuaciones, aunque hayas usado solo dos: es la verificación real de que el sistema era compatible.