Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2012 · Reserva 5 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Dada la matriz

A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1\end{pmatrix}

, sea

B

la matriz que verifica que

A\,B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 7 & 3\end{pmatrix}

a) [1 punto] Comprueba que las matrices

A

B

poseen inversas.

b) [1,5 puntos] Resuelve la ecuación matricial

\;A^{-1}X-B = B\,A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = 13 \neq 0; \qquad \det B = \frac{\det(AB)}{\det A} = \frac{-13}{13} = -1 \neq 0\;}

\boxed{\;B = A^{-1}(AB) = \frac{1}{13}\begin{pmatrix} 12 & 7 \\ 31 & 4\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;A^{-1}X = B+B\,A \;\Longrightarrow\; X = A\,(B+B\,A)\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ 43 & -8\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Para $A$ basta con su determinante. Para $B$ no hace falta calcularla: de $\det(AB) = \det A\cdot\det B$ se despeja $\det B$ , y con eso ya se sabe si es invertible.
b) Se despeja $A^{-1}X = B+B\,A$ y, como $A^{-1}$ multiplica por la izquierda, se multiplica por $A$ por la izquierda:

X = A\,\bigl(B+B\,A\bigr)

Para eso hace falta

B

, que se obtiene de

B = A^{-1}(AB)

Desarrollo

a) Los determinantes.

\det A = 3\cdot1-(-2)\cdot5 = 3+10 = 13 \neq 0 \;\Longrightarrow\; A \text{ es invertible}

\det(A\,B) = (-2)(3)-(1)(7) = -6-7 = -13

Como

\det(AB) = \det A\cdot\det B

\det B = \frac{\det(AB)}{\det A} = \frac{-13}{13} = -1 \neq 0 \;\Longrightarrow\; B \text{ es invertible}

La matriz $B$ . Con

A^{-1} = \dfrac{1}{13}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -5 & 3\end{pmatrix}

B = A^{-1}\,(A\,B) = \frac{1}{13}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -5 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 7 & 3\end{pmatrix} = \frac{1}{13}\begin{pmatrix} 12 & 7 \\ 31 & 4\end{pmatrix}

(Comprobación: $\det B = \frac{48-217}{169} = \frac{-169}{169} = -1$ $\checkmark$ )

b) Despejando $X$ .

A^{-1}X-B = B\,A \;\Longrightarrow\; A^{-1}X = B+B\,A \;\Longrightarrow\; X = A\,\bigl(B+B\,A\bigr)

El producto $B\,A$ .

B\,A = \frac{1}{13}\begin{pmatrix} 12 & 7 \\ 31 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1\end{pmatrix} = \frac{1}{13}\begin{pmatrix} 71 & -17 \\ 113 & -58\end{pmatrix}

La suma.

B+B\,A = \frac{1}{13}\begin{pmatrix} 83 & -10 \\ 144 & -54\end{pmatrix}

El producto final.

X = A\,\bigl(B+B\,A\bigr) = \frac{1}{13}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 83 & -10 \\ 144 & -54\end{pmatrix} = \frac{1}{13}\begin{pmatrix} -39 & 78 \\ 559 & -104\end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ 43 & -8\end{pmatrix}

Comprobación.

\;A^{-1}X-B = B\,A

\;\checkmark

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Consejo

En a) no calcules $B$ para saber si es invertible: de $\det(AB) = \det A\det B$ sale $\det B$ directamente. Es el atajo que busca el enunciado.

En b), $A^{-1}$ multiplica a $X$ por la izquierda, así que hay que multiplicar por $A$ por la izquierda: $X = A(B+BA)$ , no $(B+BA)A$ .

Saca el $\frac{1}{13}$ factor común y opera con la matriz de enteros: al final el $13$ se cancela y $X$ sale con entradas enteras. Trabajar con fracciones desde el principio multiplica los errores.